Question

如图，在正方形ABCD中，点E、G分别在边AB、对角线BD上，EG∥AD，F为GD的中点，连接FC，利用勾股定理的逆定理，证明EF⊥FC．

Answer 1

考点：勾股定理的逆定理,正方形的性质

专题：

分析：作FH⊥AB于点H，延长HF交CD于点I，作FK⊥AD于点K，连接EC，则四边形FIDK是正方形，四边形AKFH是矩形，由EG∥AD，F为GD的中点，可得点H是AE的中点，进而可得：HE=AH=FK=DK=DI=FI，HF=BH=IC=AK，然后由勾股定理分别表示EF²，FC²，EC²，最后根据勾股定理的逆定理即可判断△EFC是直角三角形，进而可证EF⊥FC．

解答：证明：作FH⊥AB于点H，延长HF交CD于点I，作FK⊥AD于点K．

则四边形FIDK是正方形，四边形AKGH是矩形，
∴AK=HF，KD=DI=FI=AH，
∵AD=CD，
∴IC=HF，
∵AD∥FH∥EG，F是DG的中点，
∴HA=HE，
∴HE=FI，
∴HE=AH=FK=DK=DI=FI，HF=BH=IC=AK，
在Rt△HEF和Rt△FIC中，由勾股定理得：
EF²=HE²+HF²，FC²=FI²+IC²，
∴EF²+FC²=HE²+HF²+FI²+IC²=2HE²+2HF²，
在Rt△BCE中，由勾股定理得：
EC²=BE²+BC²，
∵BE²=（AB-AE）²
=（AD-2HE）²
=（HF+FI-2HE）²
=（HF+HE-2HE）²
=（HF-HE）²
=HF²-2HF•HE+HE²，
BC²=（HF+FI）²
=（HF+HE）²
=HF²+2HF•HE+HE²，
∴EC²=BE²+BC²
=HF²-2HF•HE+HE²+HF²+2HF•HE+HE²，
=2HE²+2HF²，
即EF²+FC²=EC²，
∴△EFC是直角三角形，且∠EFC=90°，
∴EF⊥FC．

点评：此题主要考查了勾股定理以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形就是直角三角形．