Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D是AC上一点，以CD为直径的圆与AB相切于点E，若CD=3，tan∠AED=

1

2

，则AD的长为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：连接OE，CE，根据圆周角定理和圆的性质可得∠AED=∠ECD，再由公共角，得到三角形AED与三角形ACE相似，由相似得比例，根据DC为直径，得到所对的圆周角为直角，利用锐角三角函数定义求出DE与EC的比值，进而确定出AE=2AD，设AD=x，则AE=2x，在直角三角形AEO中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为AD的长．

解答：解：连接OE，CE，
∵AB与圆O相切于点E，
∴∠AED=∠ACE，
∴tan∠ACE=tan∠AED=

1

2

，
∵DC为圆O的直径，
∴∠DEC=90°，
∴

DE

EC

=

1

2

，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACE，
∴

DE

EC

=

AD

AE

=

1

2

，即AE=2AD，
设AD=x，则AE=2x，
∵CD=3，∴OD=OC=1.5，
在Rt△AEO中，根据勾股定理得：OA²=AE²+OE²，
即（x+1.5）²=（2x）²+1.5²，
整理得：x²-x=0，即x（x-1）=0，
解得：x=0（舍去）或x=1，
则AD=1．
故答案为：1

点评：此题考查了切线的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．