Question

4．如图，矩形城ABCD，东边城墙AB=6km，南边城墙AD=4km，东门点E、南门点F分别是AB、AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG=8km，HG经过A点，求FH的长．

Answer 1

分析 由EG⊥AB、AD⊥AB可得出EG∥AD，进而得出∠G=∠FAH，由垂直的定义可得出∠GEA=∠AFH，由此可证出△GEA∽△AFH，根据相似三角形的性质可得出$\frac{AF}{GE}$=$\frac{FH}{EA}$，再根据中点的性质可得出AF、EA的长度，将其代入FH=$\frac{AF•EA}{GE}$即可得出结论．

解答 解：∵EG⊥AB，AD⊥AB，
∴EG∥AD，
∴∠G=∠FAH．
∵EG⊥AB，FH⊥AD，
∴∠GEA=∠AFH，
∴△GEA∽△AFH，
∴$\frac{AF}{GE}$=$\frac{FH}{EA}$，
∴FH=$\frac{AF•EA}{GE}$．
∵AB=6km，AD=4km，EG=8km，点E、点F分别是AB、AD的中点，
∴AF=2km，EA=3km，
∴FH=$\frac{AF•EA}{GE}$=$\frac{2×3}{8}$=$\frac{3}{4}$km．
答：FH的长为$\frac{3}{4}$km．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、平行线的判定与性质以及垂线，根据平行线的性质以及垂线的定义找出△GEA∽△AFH是解题的关键．