Question

5．如图，已知ABC是等边三角形，∠BDC=120°，连AD．
（1）求证：DA平分∠BDC；
（2）若BD=2，CD=1，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）作AM⊥BD于M，AN⊥CD于N，如图，利用四边形内角和由∠BDC=120°得∠MAN=60°，再根据等边三角形的性质得∠BAC=60°，AB=AC，则∠BAM=∠CAN，然后根据“AAS”可证明△ABM≌△ACN，知道的AM=AN，根据角平分线的判定方法得到DA平分∠BDC；
（2）由△ABM≌△ACN得BM=CN，再由DA平分∠BDC得∠ADM=∠ADN=60°，根据含30度的直角三角形三边的关系得DM=DN=$\frac{1}{2}$AD，然后利用等线段代换可得到BM+DM=CN+DM=DN-DC+DM=2，则DM=$\frac{3}{2}$，所以AD=2DM=3．

解答 （1）证明：作AM⊥BD于M，AN⊥CD于N，如图，
∵∠BDC=120°，
∴∠MAN=60°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC，
∴∠ABC-∠MAC=∠MAN-∠MAC，即∠BAM=∠CAN，
在△ABM和△ACN中
$\left\{\begin{array}{l}{∠AMB=∠ANC}\\{∠BAM=∠CAN}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△ACN，
∴AM=AN，
∴DA平分∠BDC；
（2）解：∵△ABM≌△ACN，
∴BM=CN，
∵DA平分∠BDC，
∴∠ADM=∠ADN=60°，
∴DM=DN=$\frac{1}{2}$AD，
∵BD=2，CD=1，
∴BM+DM=CN+DM=DN-DC+DM=2，
∴DM=$\frac{3}{2}$，
∴AD=2DM=3．

点评 本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质和等边三角形的性质．