Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知点P是反比例函数图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．

（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．

（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时，

①求过点A，B，C三点的抛物线解析式；

②在过A，B，C三点的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的？若存在，直接写出所有满足条件的M点的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer 1

【答案】（1）四边形OKPA是正方形，理由见解析；（2）①y＝x2﹣x+；；②存在，M的坐标为（0，）或（3，0）或（4，）或（7，）

【解析】

（1）先证明四边形OKPA是矩形，又PA＝PK，所以四边形OKPA是正方形；

（2）①证明△PBC为等边三角形；在Rt△PBG中，∠PBG＝60°，设PB＝PA＝a，BG＝，由勾股定理得：PG＝a，所以P（a，），将P点坐标代入y＝，求出PG＝，PA＝BC＝2，又四边形OGPA是矩形，PA＝OG＝2，BG＝CG＝1，故OB＝OG﹣BG＝1，OC＝OG+GC＝3，即可求得a、b、c的值；设二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c，根据题意得：a+b+c＝0，9a+3b+c＝0，而c＝，即可求解．

②

（1）四边形OKPA是正方形，

理由：∵⊙P分别与两坐标轴相切，

∴PA⊥OA，PK⊥OK，

∴∠PAO＝∠OKP＝90°．

又∵∠AOK＝90°，

∴∠PAO＝∠OKP＝∠AOK＝90°．

∴四边形OKPA是矩形．

又∵PA＝PK，∴

四边形OKPA是正方形；

（2）①连接PB，过点P作PG⊥BC于G．

∵四边形ABCP为菱形，∴BC＝PA＝PB＝PC．

∴△PBC为等边三角形．

在Rt△PBG中，∠PBG＝60°，

设PB＝PA＝a，BG＝

由勾股定理得：PG＝a，

所以P（a，），将P点坐标代入y＝，

解得：a＝2或﹣2（舍去负值），

∴PG＝，PA＝BC＝2．

又四边形OGPA是矩形，PA＝OG＝2，BG＝CG＝1，

∴OB＝OG﹣BG＝1，OC＝OG+GC＝3．

∴A（0，），B（1，0），C（3，0）；

设：二次函数的解析式为：y＝ax2+bx+c，

根据题意得：a+b+c＝0，9a+3b+c＝0，而c＝

解得：a＝，b＝﹣，c＝，

∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣x+；

②设直线BP的解析式为：y＝ux+v，据题意得：

解之得：u＝，v＝﹣．

∴直线BP的解析式为：y＝x﹣，

过点A作直线AM∥BP，则可得直线AM的解析式为：．

解方程组：

得：；．

过点C作直线CM∥PB，则可设直线CM的解析式为：．

∴0＝．

∴．

∴直线CM的解析式为：．

解方程组：

得：；．

综上可知，满足条件的M的坐标有四个，分别为（0，），（3，0），（4，），（7，）．