Question

观察下列各式：
13+23=

1

4

×4×9=

1

4

×22×32；
13+23+33=36=

1

4

×9×16=

1

4

×32×42；
13+23+33+43=100=

1

4

×16×25=

1

4

×42×52；
（1）计算：1³+2³+3³+4³+5³的值；
（2）计算：1³+2³+3³+4³+…+10³的值；
（3）猜想：1³+2³+3³+4³+…+n³的值．

Answer 1

分析：（1）根据已知得出规律，连续自然数的立方等于末位数与下一个自然数的平方的积的

1

4

进而分别求出即可；
（2）利用1³+2³+3³+4³+…+10³=

1

4

×10²×11²求出即可；
（3）利用（1）中分析得出即可．

解答：解：∵13+23=

1

4

×4×9=

1

4

×22×32；
13+23+33=36=

1

4

×9×16=

1

4

×32×42；
13+23+33+43=100=

1

4

×16×25=

1

4

×42×52；
∴（1）1³+2³+3³+4³+5³=

1

4

×5²×6²=225；

（2）1³+2³+3³+4³+…+10³=

1

4

×10²×11²=

1

4

×121×100=3025；

（3）1³+2³+3³+4³+…+n³=

1

4

×n²×（n+1）²．

点评：本题考查了数字变化规律，根据逐项增加计算所得的结构总结出规律是解题的关键．