Question

【题目】已知抛物线C：y1＝﹣x2+bx+4．

（1）如图，抛物线与x轴相交于两点（1﹣m，0）、（1+m，0）．

①求b的值；

②当n≤x≤n+1时，二次函数有最大值为3，求n的值．

（2）已知直线l：y2＝2x﹣b+9，当x≥0时，y1≤y2恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）b＝2；（2）或；（3）b≤4．

【解析】

（1）由根与系数的关系得出x1+x2=-b,由抛物线与x轴的交点即为方程值为0的解，再将两个代入x1+x2=-b即可得到b的值.；
（2）需要分情况讨论，当n+1≤1，即n≤0；当n≤1≤n+1，即0≤n≤1；或n≥1三种情况，分别求解即可;

（3）将y1＝﹣x2+bx+4，y2＝2x﹣b+9代入y1≤y2整理得到x2+（2﹣b）x+5﹣b≥0，题意告知对于当x≥0时x2+（2﹣b）x+5﹣b≥0恒成立，故需分下面两种情况求解：①：△≤0，（2-b）2-4（5-b）≤0；②：△＞0，则b＞4或b＜-4，即可求解．

解：（1）﹣x2+bx+4＝0

，

b＝2；

（2）抛物线开口向下，对称轴左侧y随x的增大而增大；对称轴右侧，y随x的增大而减小．

i：n+1≤1即n≤0，

当x＝n+1时，y有最大值，

，

又∵n≤0，∴，

ii：n≤1≤n+1即0≤n≤1，

当x＝1时y有最大值，

﹣12+2＜1+4＝3不成立，

iii：n≥1时，

当x＝n时，y有最大值，

，

又∵n≥1，

∴，

综上所述：或；

（3）y1≤y2，

﹣x2+bx+4≤2x﹣b+9，

x2+（2﹣b）x+5﹣b≥0，

①：△≤0，

（2﹣b）2﹣4（5﹣b）≤0，

﹣4≤b≤4；

②：△＞0则b＞4或b＜﹣4，

i：，不成立，

ii：，

b≤2，

又∵b＞4或b＜﹣4，

∴b＜﹣4，

综上所述b≤4．