Question

10．关于x的方程2x²+ax+b=0有两个不相等的实数根，且较小的根为2，则下列结论：
①2a+b＜0；
②ab＜0；
③关于x的方程2x²+ax+b+2=0有两个不相等的实数根；
④抛物线y=2x²+ax+b-2的顶点在第四象限．
其中正确的结论有（　　）

• A． ①②
• B． ①②③
• C． ①②④
• D． ①②③④

Answer 1

分析 把方程的根x=2代入计算即可求出2a+b=-8，判定①正确；利用根与系数的关系求出a＜-8，b＞8，从而判定②正确；根据二次函数y=2x²+ax+b与x轴有两个交点，且顶点坐标在第四象限，向上平移2个单位，与x轴不一定有交点，判定③错误；向下平移2个单位，顶点一定在第四象限，判定④正确．

解答 解：∵x=2是方程2x²+ax+b=0的根，
∴2×4+2a+b=0，
∴2a+b=-8＜0，故①正确；
∵x=2是方程2x²+ax+b=0的两个根中较小的根，
∴-$\frac{a}{2}$＞2+2，$\frac{b}{2}$＞2×2，
∴a＜-8，b＞8，
∴ab＜0，故②正确；
∵方程2x²+ax+b=0有两个不相等的实数根，且较小的根为2，
∴二次函数y=2x²+ax+b与x轴有两个交点，且对称轴在直线x=2的右边，
∴二次函数y=2x²+ax+b顶点坐标在第四象限，
向上平移2个单位得到二次函数y=2x²+ax+b+2，与x轴不一定有交点，
∴关于x的方程2x²+ax+b+2=0有两个不相等的实数根错误，故③错误；
向下平移2个单位得到二次函数y=2x²+ax+b-2，顶点坐标一定在第四象限，故④正确；
综上所述，正确的结论有①②④．
故选：C．

点评 本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要利用了一元二次方程的根的定义，根与系数的关系，二次函数图象与几何变换，③④两题考虑用二次函数的平移求解是解题的关键．