Question

如图1，△ABC是正三角形，△BDC是等腰三角形，BD=CD，∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN．
（1）探究BM、MN、NC之间的关系，并说明理由；
（2）若△ABC的边长为2，求△AMN的周长；
（3）若点M、N分别是线段AB、CA延长线上的点，其他条件不变，此时（1）中的结论是否还成立，在图2中画出图形，并说明理由．

Answer 1

（1）MN=BM+NC．理由如下：
延长AC至E，使得CE=BM（或延长AB至E，使得BE=CN），并连接DE．
∵△BDC为等腰三角形，△ABC为等边三角形，
∴BD=CD，∠DBC=∠DCB，∠MBC=∠ACB=60°，
又BD=DC，且∠BDC=120°，
∴∠DBC=∠DCB=30°
∴∠ABC+∠DBC=∠ACB+∠DCB=60°+30°=90°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
在△MBD与△ECD中，BD=CD，∠MBD=∠ECD，CE=BM，
∴△MBD≌△ECD（SAS），
∴MD=DE，
∴△DMN≌△DEN，
∴MN=BM+NC．

（2）利用（1）中的结论得出：
△AMN的周长=AM+MN+AN
=（AM+BM）+（NC+AN）
=2+2=4．

（3）按要求作出图形，（1）中结论不成立，应为MN=NC-BM．
在CA上截取CE=BM．
∵△ABC是正三角形，
∴∠ACB=∠ABC=60°，
又∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠CBD=30°，
∴∠MBD=∠ECD=90°，
又∵CE=BM，
∴△BMD≌△CED（SAS），
∠BDC=120°（已知条件）
∴∠BDM=∠CDE
∠MDE=∠BDM+∠BDC-∠CDE=∠BDC=120°
∵∠MDN=60°（已知条件）
∴∠EDN=∠MDE-∠MDN=120°-60°=60°=∠MDN，
∴DE=DM，
又∵ND=ND，∠EDN=∠MDN，MD=ED，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=NE=NC-CE=NC-BM．