Question

4．已知矩形ABCD中，点E是射线DC上一个动点，将△ADE沿直线AE折叠，得到△AFE，点D的对应点为点F．
（1）如图1，当点F落在BC边上时．
①EF+EC=CD；
②△AFB与△FEC有什么关系？说明理由．
（2）如图2，当点E在DC延长线上时，AF与射线CB交于点M，AE与边BC交于点N，
①当点M在BC边上时，请你判断MB、MF、NC之间有怎样的数量关系？并说明理由；
②当点M在CB延长线时，请你直接写出MB、MF、NC之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）如图1中，①由△AEF是由△AED翻折得到，推出DE=EF，由DE+EC=DC，推出EF+EC=DC，由此即可解决问题；
②结论：△AFB∽△FEC．只要证明∠AFB=∠EFC，即可；
（2）①如图2中，结论：FM=BM+CN．只要证明△AMN是等腰三角形即可；
②如图3中，结论：FM=CN-BM．证明方法类似；

解答 解：（1）如图1中，

①∵△AEF是由△AED翻折得到，
∴DE=EF，
∵DE+EC=DC，
∴EF+EC=DC，
故答案为EC．

②结论：△AFB∽△FEC．
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，
∵∠AFE=90°，
∴∠AFB+∠EFC=90°，∠EFC+∠FEC=90°，
∴∠AFB=∠EFC，
∴△AFB∽△FEC．

（2）①如图2中，结论：FM=BM+CN．

理由：∵△AEF是由△AED翻折得到，
∴∠DAE=∠EAF，AF=AD，
∵AD∥BC，AD=BC，
∴∠DAN=∠ANM，
∴∠MAN=∠MNA，
∴AM=MN，
∴FM+AM=AD=BC，
∴FM+MN=BC，
∵BM+CN+MN=BC，
∴FM=BM+CN．

②如图3中，结论：FM=CN-BM．

理由：易证FM+MN=BC，MN+CN-BM=BC，
所以FM=CN-BM．

点评 本题科学矩形的性质、翻折变换、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握翻折不变性解决问题，所以中考常考题型．