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已知:在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,⊙O经过A、D、B三点,CB的延长线交⊙O于点E(如图1).
在满足上述条件的情况下,当∠CAB的大小变化时,图形也随着改变(如图2),在这个变化过程中,有些线段总保持着相等的关系.
(1)观察上述图形,连接图2中已标明字母的某两点,得到一条新线段与线段CE相等,请说明理由;
(2)在图2中,过点E作⊙O的切线,交AC的延长线于点F.
①若CF=CD,求sin∠CAB的值;
②若数学公式=n(n>0),试用含n的代数式表示sin∠CAB(直接写出结果).

解:(1)连接AE,
求证:AE=CE.
证明:如图,连接OD,
∵∠ABC=90°,CB的延长线交⊙O于点E,
∴∠ABE=90°
∴AE是⊙O的直径,
∵D是AC的中点,O是AE的中点,
∴OD=CE
∵OD=AE
∴AE=CE.

(2)①根据题意画出图形,如图,连接DE,
∵AE是⊙O的直径,EF是⊙O的切线,
∴∠ADE=∠AEF=90°,
∴Rt△ADE∽Rt△EDF,

设AD=k(k>0),则DF=2k,
=
∴DE=k.
在Rt△CDE中,
∵CE2=CD2+DE2=k2+(k)2=3k2
∴CE=
∵∠ABC=∠EDC=90°,∠ACB=∠DCE,
∴∠CAB=∠DEC,
sin∠CAB=sin∠DEC==
②sin∠CAB=(n>0).
分析:(1)连接AE,由图不难看出OD是三角形ABC的中线,那么OD=CE,又因为OD是半径,AE是直径,因此AE=CE;
(2)若CD=CF,那么AD=CD=CF,由图不难得出Rt△ADE∽Rt△EDF,那么就可用AD,DF表示出DE,然后根据直角三角形CDE中,CE2=CD2+DE2,这样就能表示出CE了,那么∠CED的正弦函数也就求出来了,∠CAB的正弦值也就有了.
点评:本题综合考查了切线的性质,相似三角形,解直角三角形等知识点的运用.此题是一个大综合题,难度较大.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图,已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4,M是边AB的中点,E、G分别是边AC、BC上的一点,∠EMG=45°,AC与MG的延长线相交于点F.
(1)在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形,并证明其中的一对;
(2)连接结EG,当AE=3时,求EG的长.

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精英家教网已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,b=2
3
,解这个直角三角形.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图,已知,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=6cm;D为AC上一点(不与A、C不精英家教网重合),过D作DQ⊥AC(DQ与AB在AC的同侧);点P从D点出发,在射线DQ上运动,连接PA、PC.
(1)当PA=PC时,求出AD的长;
(2)当△PAC构成等腰直角三角形时,求出AD、DP的长;
(3)当△PAC构成等边三角形时,求出AD、DP的长;
(4)在运动变化过程中,△CAP与△ABC能否相似?若△CAP与△ABC相似,求出此时AD与DP的长.

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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,M是AC的中点,连接BM,CF⊥MB,F是垂足,延长CF交AB于点E.求证:∠AME=∠CMB.

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科目:初中数学 来源: 题型:

已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,点O在AB上,以O为圆心,OA长为半径的圆与AC、AB分别交于点D、E,且∠CBD=∠A.
(1)观察图形,猜想BD与⊙O的位置关系:
相切
相切

(2)证明第(1)题的猜想.

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