解:(1)连接AE,
求证:AE=CE.
证明:如图,连接OD,
∵∠ABC=90°,CB的延长线交⊙O于点E,
∴∠ABE=90°
∴AE是⊙O的直径,
∵D是AC的中点,O是AE的中点,
∴OD=
CE
∵OD=
AE
∴AE=CE.
(2)①根据题意画出图形,如图,连接DE,
∵AE是⊙O的直径,EF是⊙O的切线,
∴∠ADE=∠AEF=90°,
∴Rt△ADE∽Rt△EDF,
∴
.
设AD=k(k>0),则DF=2k,
∴
=
,
∴DE=
k.
在Rt△CDE中,
∵CE
2=CD
2+DE
2=k
2+(
k)
2=3k
2,
∴CE=
,
∵∠ABC=∠EDC=90°,∠ACB=∠DCE,
∴∠CAB=∠DEC,
sin∠CAB=sin∠DEC=
=
.
②sin∠CAB=
(n>0).
分析:(1)连接AE,由图不难看出OD是三角形ABC的中线,那么OD=
CE,又因为OD是半径,AE是直径,因此AE=CE;
(2)若CD=CF,那么AD=CD=CF,由图不难得出Rt△ADE∽Rt△EDF,那么就可用AD,DF表示出DE,然后根据直角三角形CDE中,CE
2=CD
2+DE
2,这样就能表示出CE了,那么∠CED的正弦函数也就求出来了,∠CAB的正弦值也就有了.
点评:本题综合考查了切线的性质,相似三角形,解直角三角形等知识点的运用.此题是一个大综合题,难度较大.