Question

如图，在梯形AOBC中，AO∥CB，点A、B分别在y轴和x轴上．P是OB中点，以P为圆心，PB长为半径作半圆，D为该半圆与AC的一个公共点，且OB=CB=CD=4．
（1）试说明：AC与半圆相切于点D；
（2）求点D的坐标．

Answer 1

考点：切线的判定,坐标与图形性质,相似三角形的判定与性质

专题：计算题

分析：（1）连接CP、DP，由AO∥CB得到CBO=90°，再证明△CDP≌△CBP，所以∠CDP=∠CBP=90°，然后根据切线的判定定理得AC与半圆相切于点D；
（2）作AN⊥CB于N，DM⊥OB于M，与AN交于点H，根据切线长定理得AO=AD，在Rt△ANC中，设AO=x，则AD=x，AC=4+x，CN=BC-BN=BC-OA=4-x，AN=OB=4，根据勾股定理得4²+（4-x）²=（4+x）²，解得x=1，则AD=1，再证明△ADH∽△ACN，利用相似比可计算出AH=

4

5

，DH=

3

5

，则DM=

8

5

，于是得到D点坐标为（

4

5

，

8

5

）．

解答：解：（1）连接CP、DP，如图，
∵AO∥CB，∠AOB=90°，
∴∠CBO=90°，
在△CDP和△CBP中

PB=PD PC=PC CD=CB

，
∴△CDP≌△CBP，
∴∠CDP=∠CBP=90°，
∴PD⊥CD，
∴AC与半圆相切于点D；
（2）作AN⊥CB于N，DM⊥OB于M，与AN交于点H，如图，
∵∠AOB=90°，
∴AO与半圆相切．
∴AO=AD，
在Rt△ANC中，设AO=x，则AD=x，AC=4+x，CN=BC-BN=BC-OA=4-x，AN=OB=4，
∵AN²+CN²=AC²，
∴4²+（4-x）²=（4+x）²，解得x=1，
∴AD=1，
∵DM∥CB，
∴△ADH∽△ACN，
∴

AD

AC

=

AH

AN

，即

1

5

=

AH

4

AH=

4

5

，
同理得DH=

3

5

，
∴DM=

8

5

，
所以D点坐标为（

4

5

，

8

5

）．

点评：本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．也考查了相似三角形的判定与性质．