Question

（2012•宜昌模拟）抛物线y=ax²和直线y=kx+b（k为正常数）交于点A和点B，其中点A的坐标是（-2，1），过点A作x轴的平行线交抛物线于点E，点D是抛物线上B．E之间的一个动点，设其横坐标为t，经过点D作两坐标轴的平行线分别交直线AB于点C．B，设CD=r，MD=m．
（1）根据题意可求出a=

1

4

，点E的坐标是

（2，1）

．
（2）当点D可与B、E重合时，若k=0.5，求t的取值范围，并确定t为何值时，r的值最大；
（3）当点D不与B、E重合时，若点D运动过程中可以得到r的最大值，求k的取值范围，并判断当r为最大值时m的值是否最大，说明理由．（下图供分析参考用）

Answer 1

分析：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征知，点A的坐标满足抛物线的解析式，所以把点A的坐标代入抛物线的解析式，即可求得a的值；由抛物线y=ax²的对称性知，点A、点E关于y轴对称；
（2）根据抛物线与直线的解析式求得点B的坐标为（4，4），则t的最小值是点E的横坐标，t的最大值是点B的横坐标；由于点C在直线y=

1

2

x+2上，点D在抛物线y=

1

4

x²上，CD∥x轴，所以D（t，

1

4

t²），C（

t2-8

2

，

1

4

t²）；最后由两点间的距离公式求得r=|

1

2

（t-1）²-

9

2

|（2≤t≤4），所以根据二次函数最值的求法来求当r取最大值时t的值；
（3）①设D（t，

1

4

t²）．由一次函数、二次函数图象上点的坐标特征求得点C的坐标为（

1

4k

t²-

b

k

，

1

4

t²）．然后根据两点间的距离公式知r=-

1

4k

（t-2k）²+k+

b

k

，易知当t=2k时，r取最大值．
②根据一次函数y=kx+b中的k的几何意义知k=

MD

CD

=

m

r

，即m=kr=-

1

4

（t-2k）²+k²+b，显然，当t=2k时，m取最大值．

解答：解：（1）根据题意知，点A（-2，1）在抛物线y=ax²上，
∴1=（-2）²a，
解得，a=

1

4

．
∵抛物线y=ax²关于y轴对称，AE∥x轴，
∴点A、E关于y轴对称，
∴E（2，1）．
故答案是：

1

4

，（2，1）．

（2）∵点A（-2，1）在直线y=kx+b（k为正常数）上，k=0.5，
∴1=-2×0.5+b，
解得，b=2，
即直线AB的解析式为y=

1

2

x+2．
∵由（1）知，抛物线的解析式y=

1

4

x²，抛物线y=

1

4

x²和直线y=

1

2

x+2（k为正常数）交于点A和点B，
∴

y= 1 4 x2 y= 1 2 x+2

，
解得，

x=-2 y=1

或

x=4 y=4

，
∴它们的交点坐标是（-2，1），（4，4），即B（4，4）．
当点D与点E重合时，t=2．当点D与点B重合时，t=4，
∴t的取值范围是：2≤t≤4．
∵点C在直线y=

1

2

x+2上，点D在抛物线y=

1

4

x²上，CD∥x轴，
∴D（t，

1

4

t²），C（

t2-8

2

，

1

4

t²），
∴r=t-

t2-8

2

=-

1

2

（t-1）²+

9

2

（2≤t≤4）．
∵在2≤t≤4范围内，r随t的增大而减小，
∴当t=2时，r_最大=4．即当t=2时，r取最大值．

（3）∵点A、B是直线与抛物线的交点，
∴kx+b=

1

4

x²，即x²-4kx-4b=0，
∴x_A+x_B=4k．
∵x_A=-2，
∴x_B=4k+2．
又∵点D不与B、E重合，
∴2＜t＜4k+2．
设D（t，

1

4

t²），则点C的纵坐标为

1

4

t²，将其代入y=kx+b中，得x=

1

4k

t²-

b

k

，
∴点C的坐标为（

1

4k

t²-

b

k

，

1

4

t²），
∴r=CD=t-（

1

4k

t²-

b

k

）=-

1

4k

（t-2k）²+k+

b

k

，
当t=2k时，r取最大值．
∴2＜2k＜4k+2，
解得，k＞1．
又∵k=

MD

CD

=

m

r

，
∴m=kr=-

1

4

（t-2k）²+k²+b，
∴当t=2k时，m的值也最大．
综上所述，当r为最大值时m的值也是最大．

点评：本题考查了二次函数综合题．其中涉及到的知识点由待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，一次函数（二次函数）图象上点的坐标特征，二次函数最值的求法等．求二次函数最值时，此题采用了“配方法”．