Question

【题目】如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°．

（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；

（2）如图2，在（1）的结论下，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？

Answer 1

【答案】（1）AB∥CD．理由见解析；（2）∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+∠MCD=90°．

【解析】

（1）先根据CE平分∠ACD，AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，再由∠EAC+∠ACE=90°可知∠BAC+∠ACD=180°，故可得出结论；

（2）过E作EF∥AB，根据平行线的性质可知EF∥AB∥CD，∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，故∠BAE+∠ECD=90°，再由∠MCE=∠ECD即可得出结论；

（1）AB∥CD．理由如下：

∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，

∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE

∵∠EAC+∠ACE=90°，

∴∠BAC+∠ACD=180°，

∴AB∥CD；

（2）∠BAE与∠MCD存在确定的数量关系：∠BAE+ ∠MCD=90°．

理由如下：

过E作EF∥AB，

∵AB∥CD，

∴EF∥AB∥CD，

∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE

∵∠E=90°，

∴∠BAE+∠ECD=90°

∵∠MCE=∠ECD，

∴∠BAE+ ∠MCD=90°．