Question

7．如图，⊙O的直径AB=12，AM，BN是⊙O的两条切线，DC切⊙O于E，交BN于C，设AD=x，BC=y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若x，y是2t²-30t+m=0的两实根，求x，y的值；
（3）求△OCD的面积．

Answer 1

分析 （1）根据切线长定理得到BF=AD=x，CE=CB=y，则DC=DE+CE=x+y，在直角△DFC中根据勾股定理，就可以求出y与x的关系，
（2）由（1）求得xy=36；最后由根与系数的关系求得a的值，通过解一元二次方程即可求得x、y的值；
（3）由AM，BN是⊙O的两条切线，DC切⊙O于E，得到OE⊥CD，AD=DE，BC=CE，推出S_△AOD=S_△ODE，S_△OBC=S_△COE，S_△COD=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×（3+12）×12=45．

解答 解：（1）如图1，作DF⊥BN交BC于F；
∵AM、BN与⊙O切于点定A、B，
∴AB⊥AM，AB⊥BN．
又∵DF⊥BN，
∴∠BAD=∠ABC=∠BFD=90°，
∴四边形ABFD是矩形，
∴BF=AD=x，DF=AB=12，
∵BC=y，
∴FC=BC-BF=y-x；
∵DE切⊙O于E，
∴DE=DA=x CE=CB=y，
则DC=DE+CE=x+y，
在Rt△DFC中，
由勾股定理得：（x+y）²=（y-x）²+12²，
整理为：y=$\frac{36}{x}$，
∴y与x的函数关系式是y=$\frac{36}{x}$．

（2）由（1）知xy=36，
x，y是方程2x²-30x+a=0的两个根，
∴根据韦达定理知，xy=$\frac{a}{2}$，即a=72；
∴原方程为x²-15x+36=0，解得，
$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=12}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=12}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∵x＜y，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=12}\end{array}\right.$；

（3）如图2，连接OD，OE，OC，
∵AD，BC，CD是⊙O的切线，
∴OE⊥CD，AD=DE，BC=CE，
∴S_△AOD=S_△ODE，
S_△OBC=S_△COE，
∴S_△COD=$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}$×（3+12）×12=45．

点评 题主要考查了切线长定理．韦达定理、解一元二次方程、全等三角形的判定与性质以及平行线的判定与性质，梯形的面积可以通过作高线转化为直角三角形的问题．