Question

13．设$\overline{abc}$是十进制中的素数，证明：b²-4ac不是完全平方数．

Answer 1

分析 采用反证法．假设存在一个十进制的质数$\overline{abc}$，使得b²-4ac为平方数．分别得到f（x）=ax²+bx+c=0①．已知条件意味着p=f（10）=a×10²+b×10+c=$\overline{abc}$是一个质数方程①的两个根x=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$②，取x=10，得p=a（10-x₁）（10-x₂）③．将式两边同乘以4a得 4ap=（20a-2ax₁）（20a-2ax₂）④．结合式④，导出|20a-2ax₂|≤4a⑤．由式②推出式⑤不可能成立，矛盾，从而证明结论．

解答 证明：采用反证法．
假设存在一个十进制的质数$\overline{abc}$，使得b²-4ac为平方数．注意到求证结果的形式，可考虑（辅助的）二次方程
f（x）=ax²+bx+c=0①．
已知条件意味着 p=f（10）=a×10²+b×10+c=$\overline{abc}$是一个质数．
由于b²-4ac是完全平方数，
故方程①的两个根x=$\frac{-b±\sqrt{{b}^{2}-4ac}}{2a}$②
均为有理数．于是，
ax²+bx+c=a（x-x₁）（x-x₂）．
取x=10，
得p=a（10-x₁）（10-x₂）③．
由式②可知2ax₁、2ax₂均是整数．
将式两边同乘以4a得 4ap=（20a-2ax₁）（20a-2ax₂）④．
因p是质数，所以，式④右边的两个因子中必有一个被p整除，不妨设20a-2ax₁是p的倍数．
注意到20a-2ax₁≠0，
故|20a-2ax₁|≥p．
结合式④，导出|20a-2ax₂|≤4a⑤．
但由式②易知x₂≤0．
从而，式⑤不可能成立，矛盾．

点评 考查了完全平方数、质数与合数，当题目条件中出现形如b²-4ac一类平方与积的差的形式的式子时常利用判别式构造方程．