Question

20．如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG．
（1）求证：四边形EFDG是菱形；
（2）试证明EG²=$\frac{1}{2}$GF•AF．

Answer 1

分析 （1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF；
（2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=$\frac{1}{2}$GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF²=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系．

解答 （1）证明：∵GE∥DF，
∴∠EGF=∠DFG．
∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，
∴∠DGF=∠DFG．
∴GD=DF．
∴DG=GE=DF=EF．
∴四边形EFDG为菱形．

（2）解：如图所示：连接DE，交AF于点O．
∵四边形EFDG为菱形，
∴GF⊥DE，OG=OF=$\frac{1}{2}$GF．
∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，
∴△DOF∽△ADF．
∴$\frac{DF}{AF}$=$\frac{FO}{DF}$，即DF²=FO•AF．
∵FO=$\frac{1}{2}$GF，DF=EG，
∴EG²=$\frac{1}{2}$GF•AF．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及菱形的判定等知识，解答本题主要应用了菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定，利用相似三角形的性质得到DF²=FO•AF是解题答问题（2）的关键．