Question

（2005•湘潭）如图，梯形ABCD，AB∥DC，AD=DC=CB，AD、BC的延长线相交于G，CE⊥AG于E，CF⊥AB于F．
（1）请写出图中4组相等的线段（已知的相等线段除外）；
（2）从你写出的4组相等的线段中选一组加以证明．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据四边形ABCD为等腰梯形可知∠DAB=∠CBA，所以GA=GB．由此也得到GD=GC，CE=CF，利用全等三角形：△CAE≌△CAF，得AE=AF；△CDE≌△CBF（AAS），得DE=BF；
（2）通过四边形ABCD为等腰梯形的性质得到∠DAB=∠CBA，所以利用等角对等边可知GA=GB．
解答：解：（1）∵四边形ABCD为等腰梯形，
∴∠DAB=∠CBA，
∴GA=GB．
∵AD=BC，
∴GD=GC，
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∵CD∥AB，
∴∠DCA=∠CAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∵CE⊥AG，CF⊥AB，
∴CE=CF，
∴△CAE≌△CAF，
∴AE=AF；
∴△CDE≌△CBF（AAS），
∴DE=BF．
∵∠DAB=∠CBA，
∴GA=GB．
∴CE=CF，AE=AF，DE=BF，DG=CG，AG=BG；（任选4组）

（2）①：∵AB∥DC，AD=BC，
∴四边形ABCD为等腰梯形，
∴∠DAB=∠CBA，
∴GA=GB，
或：②：由①得，GA-DA=GB-CB，
∴GD=GC，
或：③：∵AB∥DC，
∴∠CAB=∠DCA，
∵AD=DC，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠CAB=∠DAC，
∵CE⊥AG于E，CF⊥AB于F，
∴CE=CF．
或：④：由③可证△CAE≌△CAF，得AE=AF
或：⑤：可证明△CDE≌△CBF（AAS），得DE=BF．
点评：本题考查三角形全等的性质和判定方法以及等腰三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、HL．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．求相等的线段，利用全等三角形和等角三角形是常用的方法．