Question

如图，在直角坐标系xOy中，正方形OCBA的顶点A，C分别在y轴，x轴上，点B坐标为（6，6），抛物线y=ax²+bx+c经过点A，B两点，且3a-b=-1．
（1）求a，b，c的值；
（2）如果动点E，F同时分别从点A，点B出发，分别沿A→B，B→C运动，速度都是每秒1个单位长度，当点E到达终点B时，点E，F随之停止运动，设运动时间为t秒，△EBF的面积为S．
①试求出S与t之间的函数关系式，并求出S的最大值；
②当S取得最大值时，在抛物线上是否存在点R，使得以E，B，R，F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于四边形OABC是正方形，易知点A的坐标，将A、B的坐标分别代入抛物线的解析式中，联立3a-b=-1，即可求得待定系数的值．
（2）①用t分别表示出BE、BF的长，利用直角三角形面积公式求出△EBF的面积，从而得到关于S、t的函数关系式，根据函数的性质即可求得S的最大值；
②当S取最大值时，即可确定BE、BF的长，若E、B、R、F为顶点的四边形是平行四边形，可有两种情况：一、EB平行且相等于FR，二、ER平行且相等于FB；只需将E点坐标向上、向下平移BF个单位或将F点坐标向左、向右平移BE个单位，即可得到R点坐标，然后将它们代入抛物线的解析式中进行验证，找出符合条件的R点即可．
解答：解：（1）由已知A（0，6），B（6，6）在抛物线上，
得方程组，（1分）
解得．（3分）

（2）①运动开始t秒时，EB=6-t，BF=t，
S=EB•BF=（6-t）t=-t²+3t，（4分）
以为S=-t²+3t=-（t-3）²+，
所以当t=3时，S有最大值．（5分）
②当S取得最大值时，
∵由①知t=3，
∴BF=3，CF=3，EB=6-3=3，
若存在某点R，使得以E，B，R，F为顶点的四边形是平行四边形，
则FR₁=EB且FR₁∥EB，
即可得R₁为（9，3），R₂（3，3）；（6分）
或者ER₃=BF，ER₃∥BF，可得R₃（3，9）．（7分）
再将所求得的三个点代入y=-x²+x+6，可知只有点（9，3）在抛物线上，
因此抛物线上存在点R（9，3），使得四边形EBRF为平行四边形．（8分）
点评：此题主要考查了正方形的性质、二次函数解析式的确定、图形面积的求法、二次函数的最值、平行四边形的判定和性质等，同时还考查了分类讨论的数学思想，难度适中．