Question

如图所示，⊙与⊙外切于点O，以直线为x轴，点O为坐标原点，建立平面直角坐标系，直线AB切⊙于点B，切⊙于A，交y轴于点C(0，2)，交x轴于点M，BO的延长线交⊙于D，且OB∶OD=1∶3．

(1)求⊙半径的长．

(2)求直线AB的解析式．

(3)在直线上是否存在点P，使△MP与△MOB相似？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

解：如图所示， (1)连接B、OA，AD，过点作E⊥AD于E． ∵AB是⊙和⊙的外公切线，y轴是⊙与⊙的内公切线， ∴CA=CO=CB=2，∴CO=AB，∴△AOB是直角三角形， ∴∠AOD=90°，AB=4．∴AD是⊙的直径，AD过圆心． 设B=r，D=R．∵AB是⊙与⊙的公切线， ∴B⊥AB，A⊥AB，∴B∥DA．∵OB∶OD=1∶3， ∴B∶D=OB∶OD=1∶3，即r∶R=1∶3，即R=3r． ∵∠AB=∠EAB=∠EA=90°，∴四边形ABE是矩形． ∴E=AB=4，AE=B=r，E=R－r=2r． 在Rt△E中，由勾股定理，得．即 ， ∴．∴．∴．即⊙的半径为． (2)设直线AB的解析式为y=kx＋b．∵E∥AB，设∠Amx=α，则α=∠E．∴直线AB的斜率k=tanα=tan∠E= ，即k=．∴α=30°．∵直线AB过C(0，2)点，∴直线AB的截距b=2，∴直线AB的解析式为． (3)存在P点，使△MP∽△MOB．第一种情况：P∥OB，这时△MP∽△MOB．∵P∥OB，又是AD中点，∴P是AB中点． 此时P点与C点重合，∴P点(0，2)． 第二种情况：与OB不平行，要使△M∽△MOB，需 ．∵Rt△MCO中，OC=CB=2，∠M=30°，∴MC=4． ∴MB=2，MO=．∵O=R=，∴M=．∴． ∴M=12．∴A=6．在Rt△A中，tan∠=． ∴∠=30°．又∠M=30°，∴∠M=120°．∴∠x=60°．设直线的解析式为 则，把代入①式得， ∴直线为y=，与直线M联立方程组，得 解之，得点坐标(，6)． 综上：(1)⊙的半径为； (2)直线AB解析式：； (3)若使△MP∽△MOB，得出P(0，2)和(，6)．