Question

（2013•镇江模拟）已知抛物线y=ax²+bx经过点A（-3，-3）和点P（t，0），且t≠0．
（1）如图，若A点恰好是抛物线的顶点，请写出它的对称轴和t的值．
（2）若t=-4，求a、b的值，并指出此时抛物线的开口方向．
（3）若抛物线y=ax²+bx的开口向下，请直接写出t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据函数图象可直接得到对称轴方程，利用抛物线的对称性可得到P点坐标，即得到t的值；
（2）利用待定系数法确定a、b的值，然后根据二次函数的性质确定抛物线开口方向；
（3）由于抛物线y=ax²+bx的开口向下，且过点A（-3，-3），则点P一定在点（-3，0）右侧，于是可得到t的范围．

解答：解：（1）根据函数图象得抛物线的对称轴为直线x=-3，
则抛物线与x轴的交点坐标为（-6，0），（0，0），
所以t=-6；

（2）把A（-3，-3）和P（-4，0）代入y=ax²+bx得

9a-3b=-3 16a-4b=0

，
解得

a=1 b=4

，
所以抛物线的解析式为y=x²+4x，
因为a=1＞0，
所以抛物线开口向上；

（3）t＞-3且t≠0．
将A（-3，-3）和点P（t，0）代入y=ax²+bx得，

9a-3b=-3① at2+bt=0②

，由①得b=3a+1
把b=3a+1代入②得at²+t（3a+1）=0，
∵t≠0，
∴at+3a+1=0，
∴a=

-1

t+3

，
∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∴

-1

t+3

＜0，
∴t+3＞0，
∴t＞-3
∴t＞-3且t≠0

点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-

b

2a

；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b²-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b²-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．