Question

设a，b，c均为正实数，且满足

a4+b4+c4

2(a2b2+a2c2+b2c2)

＜1，则以长为a，b，c的三条线段

 

构成三角形，（填“能”或“否”）

Answer 1

分析：先根据a，b，c均为正实数，则a⁴+b⁴+c⁴-2a²b²-2a²c²-2b²c²＜0，求出-（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（b+c-a）＜0，再根据a，b，c均为正数可知（a+b-c）（a+c-b）（b+c-a）＞0，再根据三角形的三边均不为负数即可解答．

解答：解：∵a⁴+b⁴+c⁴-2a²b²-2a²c²-2b²c²＜0，
∴（a²）²-2（b²+c²）a²+（b²+c²）²-4b²c²＜0，
（a²-b²-c²）²-4b²c²＜0，
∴（a²-b²-c²+2bc）（a²-b²-c²-2bc）＜0，
∴-（a+b+c）（a+b-c）（a-b+c）（b+c-a）＜0，
∵a，b，c均为正数，
∴-（a+b+c）＜0，
∴（a+b-c）（a+c-b）（b+c-a）＞0，
情况1：若a+b-c，a+c-b，b+c-a均大于0，则可以构成三角形；
情况2：若只有a+b-c＞0，则a+c-b＜0且b+c-a＜0，
∴2c＜0与已知矛盾，
所以情况2不可能，即必可构成三角形．
故能够成直角三角形．

点评：本题考查的是分式的等式证明及三角形的三边关系，根据已知条件得出（a+b-c）（a+c-b）（b+c-a）＞0是解答此题的关键，在解此类题目时要注意完全平方式的运用．