Question

10．如图，⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点P是$\widehat{AB}$上一点，连接AP，CP，作射线BP．
（1）求证：PC平分∠APB；
（2）试探究线段PA、PB、PC之间的数量关系，并证明你的结论；
（3）若AP=2，PC=5，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）根据等边三角形的性质得∠ABC=∠BAC=60°，再根据圆周角定理得∠APB=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°，所以∠APC=∠BPC；
（2）首先在线段PC上截取PF=PB，连接BF，进而得出△BPA≌△BFC（AAS），即可得出PA+PB=PF+FC=PC；
（3）先证明△ADP∽△CAP，根据相似的性质得PD：PA=PA：PC，即PD：2=2：5，可计算出PD=$\frac{4}{5}$，再证明△ADP∽△BDA，由相似比得到AD：DP=DB：DA=AB：PA，计算出AD=$\frac{2\sqrt{19}}{5}$，AB=$\frac{5}{2}$AD=$\sqrt{19}$，即得到等边三角形的边长，接着求得等边三角形的高，即可求得面积．

解答 （1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠BAC=60°，
∵∠APB=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°，
∴∠APC=∠BPC，
∴PC平分∠APB；
（2）解：PA+PB=PC，
证明：在线段PC上截取PF=PB，连接BF，
∵PF=PB，∠BPC=60°，
∴△PBF是等边三角形，
∴PB=BF，∠BFP=60°，
∴∠BFC=180°-∠PFB=120°，
∵∠BPA=∠APC+∠BPC=120°，
∴∠BPA=∠BFC，
在△BPA和△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAB=∠BCF}\\{∠APB=∠BFC}\\{BP=BF}\end{array}\right.$，
∴△BPA≌△BFC（AAS），
∴PA=FC，
∴PA+PB=PF+FC=PC；
（3）过A点作⊙O的切线交直线PB于D，
∴∠DAP=∠ACP，∠DAB=∠ACB=60°，
而∠APD=∠ACB=60°，∠ABD=∠ACP，
∴∠APD=∠APC=∠BAD=60°，∠PAD=∠ABD，
∴△ADP∽△CAP，
∴PD：PA=PA：PC，即PD：2=2：5，
∴PD=$\frac{4}{5}$，
∵BP=PC-PA=5-2=3，
∵BD-PB=PD，
∴BD=$\frac{4}{5}$+3=$\frac{19}{5}$，
∵∠APD=∠BAD，∠PAD=∠ABD，
∴△ADP∽△BDA，
∴AD：DP=DB：DA=AB：PA，
∴$\frac{AD}{\frac{4}{5}}$=$\frac{\frac{19}{5}}{AD}$=$\frac{AB}{2}$
∴AD=$\frac{2\sqrt{19}}{5}$，AB=$\frac{5}{2}$AD=$\sqrt{19}$，
∴△ABC的高=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=$\frac{\sqrt{57}}{2}$，
∴△ABC的面积为：$\frac{1}{2}$×$\sqrt{19}$×$\frac{\sqrt{57}}{2}$=$\frac{19\sqrt{3}}{4}$．

点评 此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质和切线的性质等知识，能够熟练运用相似三角形的判定与性质是解题关键．