Question

【题目】某商店购买60件A商品和30件B商品共用了1080元，购买50件A商品和20件B商品共用了880元．

（1）A、B两种商品的单价分别是多少元？

（2）已知该商店购买A、B两种商品共30件，要求购买B商品的数量不高于A商品数量的2倍，且该商店购买的A、B两种商品的总费用不超过276元，那么该商店有几种购买方案？

（3）若购买A种商品m件，实际购买时A种商品下降了a（a＞0）元，B种商品上涨了3a元，在（2）的条件下，此时购买这两种商品所需的最少费用为1076元，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）A种商品的单价为16元、B种商品的单价为4元；（2）有4种购买方案，见解析；（3）m的值是13．

【解析】

（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，根据等量关系：①购买60件A商品的钱数+30件B商品的钱数=1080元，②购买50件A商品的钱数+20件B商品的钱数=880元分别列出方程，联立求解即可；
（2）设购买A商品的件数为m件，则购买B商品的件数为（30-m）件，根据不等关系：①购买B商品的数量不高于A商品数量的2倍，②购买的A、B两种商品的总费用不超过276元可分别列出不等式，联立求解可得出m的取值范围，进而讨论各方案即可；
（3）根据题目条件，构建购买这两种商品所需最少费用为1076元的不等式，然后分情况讨论，最后就可确定出m的值．

解：（1）设A种商品的单价为x元、B种商品的单价为y元，

，解得，

答：A种商品的单价为16元、B种商品的单价为4元；

（2）设购买A种商品的件数为m件，则购买B种商品的件数为（30﹣m）件，

，

解得：10≤m≤13，

∵m是整数，

∴m＝10、11、12或13，

故有如下四种方案：

方案（1）：m＝10，30﹣m＝20，即购买A商品的件数为10件，购买B商品的件数为20件；

方案（2）：m＝11，30﹣m＝19，即购买A商品的件数为11件，购买B商品的件数为19件；

方案（3）：m＝12，30﹣m＝18，即购买A商品的件数为12件，购买B商品的件数为18件；

方案（4）：m＝13，30﹣m＝17，即购买A商品的件数为13件，购买B商品的件数为17件；

（3）由题意可得，

m（16﹣a）+（30﹣m）（4+3a）≥1076，

化简，得

（﹣4a+12）m+90a+120≥1076

∵10≤m≤13且m是整数，

∴当﹣4a+12＞0时，得a＜3，此时当m＝10时取得最小值，

则（﹣4a+12）×10+90a+120＝1076，解得，a＝16.72（舍去）；

当﹣4a+12＝0时，得a＝3，90a+120＝390＜1076，故此种情况不存在；

当﹣4a+12＜0时，得a＞3，此时当m＝13时，取得最小值，

则（﹣4a+12）×13+90a+120＝1076，得a＝21；

由上可得，m的值是13．