Question

19．如图，正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数y=$\frac{1}{x}$的图象交于A，C两点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，过点C作x轴的垂线，垂足为D，求证：当k取不同正数时，四边形ABCD的面积是常数．

Answer 1

分析 根据正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数y=$\frac{1}{x}$的图象交于A，C两点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，过点C作x轴的垂线，垂足为D，以及正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，从而可以设出点A的坐标，从而可以得到点B、C、D的坐标，从而可以求出组成四边形ABCD的各三角形的面积，再根据反比例函数可得到四边形的面积的值，从而可以解答本题．

解答 证明：∵正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数y=$\frac{1}{x}$的图象交于A，C两点，过点A作x轴的垂线，垂足为B，过点C作x轴的垂线，垂足为D，
∴设点A的坐标为（x，y），则点B的坐标为（x，0）点C的坐标为（-x，-y），点D的坐标为（-x，0）．
∴S_△OAB+S_△OBC+S_△OCD+S_△ODA=$\frac{xy}{2}+\frac{x×|-y|}{2}+\frac{|-x||-y|}{2}+\frac{|-x|y}{2}$=$\frac{xy}{2}+\frac{xy}{2}+\frac{xy}{2}+\frac{xy}{2}=2xy$．
∵点A在$y=\frac{1}{x}$上，
∴xy=1．
∵S_{四边形ABCD}=S_△OAB+S_△OBC+S_△OCD+S_△ODA=2xy，
∴S_{四边形ABCD}=2．
即当k取不同正数时，四边形ABCD的面积是常数．

点评 本题考查反比例函数与正比例函数的交点问题，解题的关键是明确它们的交点之间的关系，能将四边形的面积转化为求组成它的三角形的面积．