如图①.平面直角坐标系中的?AOBC.∠AOB=60°.OA=8cm.OB=10cm.点P从A点出发沿AC方向.以1cm/s速度向C点运动,点Q从B点同时出发沿BO方向.以3cm/s的速度向原点O运动．其中一个动点到达端点时.另一个动点也随之停止运动．(1)求出A点和C点的坐标,(2)如图②.从运动开始.经过多少时间.四边形AOQP是平行四边形,(3)在点P.Q运动的过� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图①，平面直角坐标系中的?AOBC，∠AOB=60°，OA=8cm，OB=10cm，点P从A点出发沿AC方向，以1cm/s速度向C点运动；点Q从B点同时出发沿BO方向，以3cm/s的速度向原点O运动．其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）求出A点和C点的坐标；
（2）如图②，从运动开始，经过多少时间，四边形AOQP是平行四边形；
（3）在点P、Q运动的过程中，四边形AOQP有可能成为直角梯形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．（图③供解题时用）

分析：（1）因为AO=8为已知，∠AOB=60°，可利用三角函数中，正弦或余弦求出A点的横坐标以及纵坐标，至于C，因为AC连线与X轴平行，所以和A点纵坐标相等，横坐标在A的基础上加10即可．
（2）四边形AOQP如果是平行四边形，则必须有AP=OQ，可根据P、Q运动速度，以及运动时间t，求出AP和OQ的长，从而列方程解答即可．
（3）如图，道理同（2），只要AP=DQ即可说明是一个直角梯形，所以用含有t的式子把AP、DQ表示出来后，解方程即可．

解答：

解：（1）过点A作AD垂直OB于点D，垂足为D
在Rt△AOD中，∵∠AOB=60°，OA=8cm
∴OD=

AO=4cm（2分）
由勾股定理，得AD=4

cm（3分）
∴A（4，4

）（4分）
∵OB=AC=10cm，
∴C（14，4

）．（5分）

（2）设经过t秒钟，四边形AOQP是平行四边形
则有AP=OQ（6分）
即t=10-3t，t=

（秒）
故经过

秒钟，四边形AOQP是平行四边形．（7分）

（3）四边形AOQP能成为直角梯形．
设经过t秒钟，四边形AOQP是直角梯形，
如图③所示，四边形ADQP是矩形则有AP=DQ（8分）
即t=10-3t-4，t=

（秒）
故四边形AOQP是直角梯形．（9分）

点评：本题主要考查了平行四边形、直角梯形的判定，难易程度适中．

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