Question

9．如图甲，点P是半径为6的⊙O外一点，过点P作直线交⊙O于A、B两点，点C是⊙O上一点，连接CP、CA、CB，且PC²=PA•PB．

（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若sin∠ACB=$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，求弦AB的长；
（3）如图乙，在（2）的条件下，点D是劣弧AB的中点，连接CD交AB于E，若$\frac{AC}{BC}=\frac{1}{3}$，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）连接CO并延长交⊙O于M，连接AM，根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似得到△PAC∽△PCB，从而得到∠PCA=∠B，再根据角之间的关系可得到CM⊥PC即PC是⊙O的切线；
（2）连接AO，并延长AO交⊙O于N，连接BN，根据同弧所对角相等得到∠N=∠ACB，已知AN的长及sin∠ACB的值，根据三角函数公式即可求得AB的长；
（3）连接OD交AB于F，由已知可推出△PCA∽△PBC，根据对应边的相似比相等可求得PA，PC的长，再根据勾股定理求得OF的长，那么再求DE的长度就不难了．

解答 （1）证明：连接CO并延长交⊙O于M，连接AM，如答图1，
∵PC²=PA•PB，
∴$\frac{PC}{PA}$=$\frac{PB}{PC}$．
∵∠P=∠P，
∴△PAC∽△PCB，∠PCA=∠B．
∵∠B=∠M，
∴∠M=∠PCA．
∵CM是直径，
∴∠MAC=90°．
∴∠ACM+∠M=90°．
∴∠ACM+∠PCA=90°．
即∠PCM=90°．
∴CM⊥PC．
∴PC是⊙O的切线．

（2）解：连接AO，并延长AO交⊙O于N，连接BN，如答图2，
∵AN是直径，
∴∠ABN=90°∠N=∠ACB，AN=12．
在Rt△ABN中，AB=ANsin∠ACB=12sin∠ACB=12×$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$=4$\sqrt{5}$．

（3）解：连接OD交AB于F，连接CD．如答图3，
∴OD⊥AB．
∵D是劣弧AB的中点，
∴∠ACD=∠BCD．
∵∠PCA=∠B，
∴∠PCE=∠PEC．
∴PC=PE由△PCA∽△PBC得PC=3PA．
∵PC²=PA•PB，
∴9PA²=PA•PB．
∴9PA=PB=PA+AB．
∴8PA=AB=4$\sqrt{5}$．
∴PA=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴PC=PE=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$．
AE=$\sqrt{5}$，AB=4$\sqrt{5}$，AF=2$\sqrt{5}$，EF=$\sqrt{5}$．
在Rt△OAF中，可求得OF=4，
∴DF=OD-OF=6-4=2，
∴DE=3．

点评 本题考查了圆的综合题，需要掌握切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．