Question

（2007•益阳）已知平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别是（0，2）、（0，-2），（4，-2）．
（1）请在给出的直角坐标系xOy中画出△ABC，设AC交X轴于点D，连接BD，证明：OD平分∠ADB；
（2）请在X轴上找出点E，使四边形AOCE为平行四边形，写出E点坐标，并证明四边形AOCE是平行四边形；
（3）设经过点B，且以CE所在直线为对称轴的抛物线的顶点为F，求直线FA的解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据图示可知OA=2=OB，OD⊥AB，即OD垂直平分AB，可得DA=DB，从而OD平分∠ADB．
（2）过点C作CE⊥x轴，E为垂足，根据AO=2=CE，AO⊥x轴，CE⊥x轴可知AO∥CE，所以四边形AOCE是平行四边形．
（3）设过A（0，2），C（4，-2）的解析式为y=k₁x+b₁，则利用待定系数法可解得直线AC的解析式为y=-x+2．所以抛物线过B（0，-2），D（2，0），D′（6，0）．设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，利用待定系数法可解抛物线解析式为，所以其顶点为．设经过，A（0，2）的解析式为y=k₂x+b₂，利用待定系数法可解得直线FA的解析式为．
解答：解：（1）画图如右∵OA=2=OB，OD⊥AB，
即OD垂直平分AB，
∴DA=DB．
从而OD平分∠ADB．（3分）

（2）过点C作CE⊥x轴，E为垂足，则E（4，0），
使四边形AOCE为平行四边形．
理由如下：∵AO=2=CE，
又AO⊥x轴，CE⊥x轴?AO∥CE，
∴四边形AOCE是平行四边形．（7分）

（3）设过A（0，2），C（4，-2）的解析式为y=k₁x+b₁，
则，
∴直线AC的解析式为y=-x+2．
令y=0，得x=2．
故D的坐标为（2，0）．（9分）
由于抛物线关于CE对称，
故D关于CE的对称点D′（6，0）也在抛物线上，
所以抛物线过B（0，-2），D（2，0），D′（6，0）．
设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
则有，
∴抛物线解析式为．
其顶点为．（12分）
设经过，A（0，2）的解析式为y=k₂x+b₂，
则，
∴直线FA的解析式为．（14分）
点评：本题考查二次函数的综合应用，其中涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式和平行四边形的判定和角平分线的性质等．要熟练掌握才能灵活运用．