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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系中有一矩形ABCO（O为原点），点A、C分别在x轴、y轴上，且C点坐标为（0，6），将△BCD沿BD折叠（D点在OC上），使C点落在OA边的E点上，并将△BAE沿BE折叠，恰好使点A落在BD边的F点上．
    （1）求BC的长，并求折痕BD所在直线的函数解析式；
    （2）过点F作FG⊥x轴，垂足为G，FG的中点为H，若抛物线y=ax2+bx+c经过B、H、D三点，求抛物线解析式；
    （3）点P是矩形内部的点，且点P在（2）中的抛物线上运动（不含B、D点），过点P作PN⊥BC，分别交BC和BD于点N、M，是否存在这样的点P，使S△BNM=S△BPM？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
    （1）由翻折可知：△BCD≌△BED，∴∠CBD=∠DBE．
    又∵△ABE≌△FBE，∴∠DBE=∠ABE．
    又∵四边形OCBA为矩形，
    ∴∠CBD=∠DBE=∠ABE=30°．
    在Rt△DOE中，∠ODE=60°，∴DE=CD=2OD．
    ∵OC=OD+CD=6，∴OD+2OD=6，
    ∴OD=2，D（0，2），
    ∴CD=4．
    在Rt△CDB中，BC=CD•tan60°=4
    		3
    ，∴B（4
    		3
    ，6）．
    设直线BD的解析式为y=kx+b，
    由题意得：
    b=2
    4
    		3
    k+b=6
    ，解得
    k=
    		3
    3
    b=2
    ，
    ∴直线BD的解析式为：y=
    		3
    3
    x+2．

    （2）在Rt△FGE中，∠FEG=60°，FE=AE．
    由（1）易得：OE=2
    		3
    ，
    ∴FE=AE=2
    		3
    ．
    ∴FG=3，GE=
    		3
    ．∴OG=
    		3
    ．
    ∵H是FG的中点，
    ∴H（
    		3
    ，
    3
    2
    ）．
    ∵抛物线y=ax2+bx+c经过B、H、D三点，
    ∴
    48a+4
    		3
    b+c=6
    c=2
    3a+
    		3
    b+c=
    3
    2
    ，解得
    a=
    1
    6
    b=-
    		3
    3
    c=2
    ，
    ∴y=
    1
    6
    x2-
    		3
    3
    x+2．

    （3）存在．
    ∵P在抛物线上，
    ∴设P（x，
    1
    6
    x2-
    		3
    3
    x+2），M（x，
    		3
    3
    x+2），N（x，6）．
    ∵S△BNM=S△BPM，
    ∴PM=MN．
    即：-
    1
    6
    x2+
    2
    		3
    3
    x=4-
    		3
    3
    x，
    整理得：x2-2
    		3
    x-4=0，
    解得：x=2
    		3
    或x=4
    		3
    ．
    当x=2
    		3
    时，y=
    1
    6
    x2-
    		3
    3
    x+2=2；
    当x=4
    		3
    时，y=
    1
    6
    x2-
    		3
    3
    x+2=6，与点B重合，不符合题意，舍去．
    ∴P（2
    		3
    ，2）．
    ∴存在点P，使S△BNM=S△BPM，点P的坐标为（2
    		3
    ，2）．
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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图1，抛物线y=ax2-3ax+b经过A（-1，0），C（3，2）两点，与y轴交于点D，与x轴交于另一点B．
    （1）求此抛物线的解析式；
    （2）若直线y=kx-1（k≠0）将四边形ABCD面积二等分，求k的值；
    （3）如图2，过点E（1，-1）作EF⊥x轴于点F，将△AEF绕平面内某点旋转180°后得△MNQ（点M，N，Q分别与点A，E，F对应），使点M，N在抛物线上，求点M，N的坐标．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，在直角坐标系中，已知点A（
    		3
    ，0），B（-
    		3
    ，0），以点A为圆心，AB为半径的圆与x轴相交于点B，C，与y轴相交于点D，E．
    （1）若抛物线y=
    1
    3
    x2+bx+c经过C，D两点，求抛物线的解析式，并判断点B是否在该抛物线上；
    （2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P，使得△PBD的周长最小；
    （3）设Q为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M，使得四边形BCQM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    抛物线经过A、B、C三点，顶点为D，且与x轴的另一个交点为E．
    （1）求该抛物线的解析式；
    （2）求D和E的坐标，并求四边形ABDE的面积．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图1，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D，AD与BC相交于E点，已知：A（-2，-6），C（1，-3），一抛物线经过A，E，C三点．
    （1）求点E的坐标及此抛物线的表达式；
    （2）如图2，如果AB位置不变，将DC向右平移k（k＞0）个单位，求△AEC的面积S关于k的函数表达式；
    （3）在第（2）问中，是否存在k的值，使AD⊥BC？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，已知二次函数y=-
    1
    2
    x2+bx+c    的图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点．
    （1）求这个二次函数的解析式；
    （2）求该二次函数图象的顶点坐标、对称轴以及二次函数图象与x轴的另一个交点；
    （3）在右图的直角坐标系内描点画出该二次函数的图象及对称轴．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，矩形ABCD中，AB=6cm，AD=3cm，点E在边DC上，且DE=4cm．动点P从点A开始沿着A?B?C?E的路线以2cm/s的速度移动，动点Q从点A开始沿着AE以1cm/s的速度移动，当点Q移动到点E时，点P停止移动．若点P、Q同时从点A同时出发，设点Q移动时间为t（s），P、Q两点运动路线与线段PQ围成的图形面积为S（cm2），求S与t的函数关系式．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：填空题

    如图，某中学生推铅球，铅球在点A处出手，在点B处落地，它的运行路线满足y=-
    1
    12
    x2+
    2
    3
    x+
    5
    3
    ，则这个学生推铅球的成绩是______米．

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    科目：初中数学 来源：不详 题型：解答题

    如图，抛物线y=x2+2x-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
    （1）求抛物线的顶点坐标；
    （2）设直线y=x+3与y轴的交点是D，在线段AD上任意取一点E（不与A、D重合），经过A、B、E三点的圆交直线AC于点F，试判断△BEF的形状．

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