Question

23、完成表格，观察表格中的两个根的和与积，它们与原来的方程的系数有什么关系？

方程	x1	x2	x1+x2	x1x2
x2-2x=0	0	2	2	0
x2+3x-4=0	-4	1	-3	-4
x2-5x+6=0	2	3	5	6

（1）请用文字语言概括你的发现．

若二次项系数为1，常用以下关系：x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q

（2）一般的，对于关于x的方程x²+px+q=0（p、q为常数，p²-4q≥0）的两根为x₁，x₂，则x₁+x₂=

-p

，x₁x₂=

q

（3）运用以上发现解决下列问题：已知x₁，x₂是方程x²-x-3=0的两根，求代数式（1+x₁）（1+x₂）的值．

Answer 1

分析：（1）求出各方程两根之和与两根之积，再与方程的系数比较找出规律即可；
（2）根据根与系数的关系进行求解．
（3）代数式（1+x₁）（1+x₂）可以变形为代数式1+x₁+x₂+x₁x₂，再根据根与系数的关系进行求解．

解答：解：（1）第一行：2、0，第二行：-3、4；第三行：5、6．
规律为：x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q；

（2）若x₁和x₂是方程x²+px+q=0（p、q为常数，p²-4q≥0）的两个根．
那么x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．

（3）根据根与系数的关系得：x₁+x₂=1，x₁x₂=-3．
则（1+x₁）（1+x₂）=1+x₁+x₂+x₁x₂=1+1-3=-1．

点评：考查了根与系数的关系，了解根与系数的关系的猜想以及证明过程，熟练运用根与系数的关系求一些关于两根的代数式的值．