Question

15．△ABC中，∠A=90°，AB=AC，CE是角平分线．
（1）如图1，BE的垂直平分线分别交BE、BC于F、G，求证：BG=AE．
（2）如图2，BF⊥CE于F，BF=2，求△EBC的面积．

Answer 1

分析 （1）连接EG，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BG=EG，然后求出△BEG是等腰直角三角形，从而判断出EG⊥BC，再根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得AE=EG，最后等量代换即可得证；
（2）延长BF、CA相交于点H，利用“角边角”证明△BCF和△HCF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=HF，再求出△ACE和△ABH全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=BH，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答 （1）证明：如图，连接EG，
∵FG是BE的垂直平分线，
∴BG=EG，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠B=45°，
∴△BEG是等腰直角三角形，
∴EG⊥BC，
∵∠A=90°，CE是角平分线，
∴AE=EG，
∴BG=AE；

（2）解：如图，延长BF、CA相交于点H，
∵CE是角平分线，
∴∠BAF=∠HAF，
在△BCF和△HCF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BAF=∠HAF}\\{CF=CF}\\{∠BFC=∠HFC=90°}\end{array}\right.$，
∴△BCF≌△HCF（ASA），
∴BF=HF=2，
∴BH=2+2=4，
∵∠H+∠ACE=∠AEC+∠ACE=90°，
∴∠H=∠AEC，
在△ACE和△ABH中，$\left\{\begin{array}{l}{∠H=∠AEC}\\{∠CAE=∠BAH=90°}\\{AB=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△ABH（AAS），
∴CE=BH=4，
∴△EBC的面积=$\frac{1}{2}$CE•BF=$\frac{1}{2}$×4×2=4．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键，也是本题的难点．