Question

【题目】综合与实践
在数学活动课上，老师给出如下问题，让同学们展开探究活动：
问题情境：
如图（1），在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=a，点D为AB上一点（0＜AD＜ AB），将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到的对应线段为CE，过点E作EF∥AB，交BC于点F．请你根据上述条件，提出恰当的数学问题并解答．

解决问题：
下面是学习小组提出的三个问题，请你解答这些问题：
（1）“兴趣”小组提出的问题是：求证：AD=EF．
（2）“实践”小组提出的问题是：如图（2），若将△ACD沿AB的垂直平分线对折，得到△BCG，连接EG，则线段EG与EF有怎样的数量关系？请说明理由．

（3）“奋进”小组在“实践”小组探究的基础上，提出了如下问题：延长EF与AC交于点H，连接HD，FG．求证：四边形DGFH是矩形．
提出问题：
（4）完成上述问题的探究后，老师让同学们结合图（3），提一个与四边形DGFH有关的问题．
“智慧”小组提出的问题是：当AD为何值时，四边形DGFH的面积最大？
请你参照智慧小组的做法，再提出一个与四边形DGFH有关的数学问题（提出问题即可，不要求进行解答，但所提问题必须有效）
你提出的问题是：

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接BE，如图1所示：

∵∠DCE=∠ACB=90°，

∴∠ACD=∠BCE，

在△ACD和△BCE中， ，

∴△ACD≌△BCE（SAS）．

∴AD=BE，∠CBE=∠CAD=45°．

∴∠ABE=90°．

∵EF∥AB，

∴∠FEB+∠ABE=180°，

∴∠FEB=90°，

∴∠EFB=∠EBF=45°，

∴EF=BE，

∴AD=EF

（2）解：EG= EF．理由如下：如图2所示，连接BE．

由（1）可知，BE=AD，EF=AD，BE⊥AB．

∵AD=BG，

∴BE=BG=EF，

∴∠BGE=∠BEG=45°，

∴EG= BG，

∴EG= EF

（3）证明：如图3所示，连接BE．

∵FH∥AB，

∴∠CHF=∠A=45°，∠CFH=∠B=45°，

∴∠CHF=∠CFH，

∴CH=CF．

∵△ACD与△BCG对称，点D的对应点为G，

∴CD=CG，∠HCD=∠FCG，

在△HCD和△FCG中，

∴△HCD≌△FCG（SAS），

∴DH=FG，∠CDH=∠CGF．

又∵∠CDA=∠CGB，

∴∠HDA=∠FGB．

由（1），（2）可知，BG=EF=BE，BG∥EF，∠EBG=90°，

∴四边形BEFG为正方形，

∴∠FGB=90°．

∴∠HDG=∠HDA=90°．

∴HD∥FG，

又∵HF∥DG，

∴四边形DGFH是平行四边形，

∴四边形DGFH为矩形

（4）当AD为何值时,四边形DGFH为正方形
【解析】（4）解：当AD为何值时，四边形DGFH为正方形（答案不唯一）；

所以答案是：当AD为何值时，四边形DGFH为正方形．

【考点精析】通过灵活运用翻折变换（折叠问题）和旋转的性质，掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等；①旋转后对应的线段长短不变，旋转角度大小不变；②旋转后对应的点到旋转到旋转中心的距离不变；③旋转后物体或图形不变，只是位置变了即可以解答此题．