Question

（1999•武汉）已知：如图，在直角坐标系中，直线AB交y轴于点A，交x轴于点B，其解析式为y=-x+2．又O₁是x轴上一点，且⊙O₁与直线AB切于点C，与y轴切于原点O．
（1）求点C的纵坐标；
（2）以AO为直径作⊙O₂，交直线AB于D，交⊙O₁于N，连ON并延长交CD于G，求△ODG的面积；
（3）另有一圆过点O₁，与y轴切于点O₂，与直线AB交于M、P两点，求证：O₁M•O₁P=2．

Answer 1

【答案】分析：（1）由解析式解出两点的坐标，过C点作CH垂直x轴，进而求纵横坐标．
（2）设直线AB与⊙O₂的交点为D连接两点，求出CD，然后求出DG，从而求出面积．
（3）连接O₁C，设⊙O₁半径为r，由相似定理，进而证明．
解答：（1）解：由y=-x+2，得OA=2，OB=
∴AB=，
由AC=2，得CB=，
过C点作CH⊥x轴，垂足为H，得CH∥y轴，
则，
CH=，即点C的纵坐标为．

（2）解：∵OA为⊙O₂的直径，
∴OD⊥AB，
由OD•AB=OA•0B，得OD=，
则AD==，
CD=2-=．
设DG=x，由切割线定理得GD•GA=GN•GO．
∴x（x+）=（-x）²．解得：x=，∴DG=，
∴S_△ODG=OD•DG=．

（3）证明：连接O₁C，设⊙O₁半径为r，
将C点纵坐标代入y=-x+2，得x=，
∴OH=，O₁H=-r．
在Rt△CHO₁中，由勾股定理得．
故⊙O₁和⊙O₂都是半径为1的等圆，
过点O₁且与y轴切于点O₂的圆是以N为圆心，1为半径的圆．
作⊙N的直径O₁Q，连接PQ．O₁Q=2，O₁C=1．
∵∠PQO₁=∠CMO₁，
∴Rt△PQO₁∽Rt△CMO₁，
∴，
∴O₁M•O₁P=O₁Q•O₁C=2×1=2．
点评：本题主要考查一次函数的应用，本题比较烦，计算和证明都要仔细．