Question

【题目】如图，OA、OB是⊙O的两条半径，∠AOB＝120°，点C为劣弧AB的中点．

（1）求证：四边形OACB为菱形；

（2）点D为优弧AB上一点，若∠BCD＝∠OBD，BD＝2，求OB的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）OB＝．

【解析】

（1）连接OC，利用圆心角定理证△AOC、△BOC是等边三角形，得出OA＝AC＝OB＝BC即可得；

（2）延长BO交⊙O于点E，连接DE，知∠BDE＝90°，∠BCD＝∠BED，结合∠BCD＝∠OBD得∠BED＝∠OBD＝45°，根据BD＝2求得BE＝2，从而得出答案．

解：（1）如图，连接OC，

∵∠AOB＝120°，点C为劣弧AB的中点，

∴∠AOC＝∠BOC＝60°，AC＝BC，

∵OA＝OB＝OC，

∴△AOC、△BOC是等边三角形，

∴OA＝AC＝OB＝BC，

∴四边形AOBC是菱形；

（2）延长BO交⊙O于点E，连接DE，

则BE是⊙O的直径，

∴∠BDE＝90°，∠BCD＝∠BED，

∵∠BCD＝∠OBD，

∴∠BED＝∠OBD＝45°，

∵BD＝2，

∴BE＝2，

则OB＝．