Question

【题目】在四边形ABCD中，点E是线段AC上一点，BE∥CD，∠BEC＝∠BAD．

（1）如图1已知AB＝AD；

①找出图中与∠DAC相等的角，并给出证明；

②求证：AE＝CD；

（2）如图2，若BC∥ED，，∠BEC＝45°，求tan∠ABE的值．

Answer 1

【答案】（1）①∠ABE＝∠CAD，理由详见解析；②详见解析；（2）.

【解析】

（1）①证明△ABE≌△DAF，关键全等三角形的性质证明；

②根据全等三角形的性质证明结论；

（2）过点D作DG⊥CD交AC于点G，证明△ABE∽△DAG，得到＝＝，根据正切的定义计算，得到答案．

解：（1）①∠ABE＝∠CAD，

理由如下：以D为圆心，DC为半径画圆，交AC于F，连接DF，

则CD＝DF，

∴∠DFC＝∠DCF，

∵BE∥CD，

∴∠BEC＝∠FCD，

∴∠BEC＝∠DFC，

∴∠AEB＝∠AFD，

∠BEC＝∠BAE+∠ABE，∠BAD＝∠BAE+∠DAF，∠BEC＝∠BAD，

∴∠ABE＝∠DAF，

在△ABE和△DAF中，

，

∴△ABE≌△DAF（AAS），

∴∠ABE＝∠CAD，

②∵△ABE≌△DAF，

∴AE＝DF，

∵CD＝DF，

∴AE＝CD；

（3）过点D作DG⊥CD交AC于点G，

∵BE∥CD，

∴∠DCA＝∠BEC＝45°，

∴∠AEB＝∠DGA＝135°，DG＝DC，

∵∠AEB＝∠DGA，∠ABE＝∠DAG，

∴△ABE∽△DAG，

∴＝＝，

∵BC∥DE，BE∥CD，

∴四边形BCDE为平行四边形，

∴BE＝CD，

过点A作AH垂直于BE交BE的延长线于点H，

设AH＝EH＝m，

则AE＝m，DG＝CD＝BE＝2m，

∴BH＝BE+EH＝2m+m，

tan∠ABE＝＝＝．

故答案为：（1）①∠ABE＝∠CAD，理由详见解析；②详见解析；（2）.