Question

（2011•裕华区一模）（1）如图1，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点C在直线l上，过点A作AE⊥l于E，BF⊥l于F，则线段CE与BF的数量关系是

CE=BF

；
（2）如图2，分别以AB、AC为一边向△ABC外作正方形ABGE和ACHF，直线AN⊥BC于N，若EP⊥AN于P，FQ⊥AN于Q，判断线段EP、FQ之间的数量关系，并说明；
（3）如图3，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABGE和ACHF，线AN⊥BC于N，若EP⊥AN于P，FQ⊥AN于Q，如果GB=kAB，HC=kAC，（2）中结论还成立吗？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）易证Rt△AEC≌Rt△CFB，由全等三角形的性质可以得出结论CE=BF；
（2）由条件可以证明Rt△EQA≌Rt△ANC，可以得出FQ=AN，由Rt△EPQ≌Rt△ANB可以得出EP=AN，从而得出EP=FQ；
（3）由条件可以得出Rt△FQA∽Rt△ANC，Rt△EPA∽Rt△ANB，从而证明

FQ

AN

=k，

EP

AN

=k，从而得出EP=FQ．

解答：解：（1）CE=BF．理由如下：
∵∠C=90°，
∴∠ACE+∠BCF=90°，
∵AE⊥l于E，BF⊥l于F，
∴∠AEC=∠BFC=90°，
∴∠EAC+∠ACE=90°，
∴∠EAC=∠BCF
∵AC=BC，
∴Rt△AEC≌Rt△CFB，
∴CE=BF；

（2）EP=FQ．理由如下：
∵四边形ABGE和四边形ACHF都是正方形，
∴AE=AB，AF=AC，∠BAE=∠CAF=90°，
∵AN⊥BC于N，EP⊥AN于P，FQ⊥AN于Q，
∴∠ANC=∠ANB=∠EPA=∠FQA=90°，
∴∠EAP=∠ABN，∠FAQ=∠ACN，
∴Rt△FQA≌△ANC，△EPA≌△ANB，
∴FQ=AN，EP=AN，
∴EP=FQ；

（3）（2）中结论还成立，即EP=FQ；理由如下：
同（2）一样可得∠EAP=∠ABN，∠FAQ=∠ACN，
∴Rt△FQA∽△ANC，△EPA∽△ANB，
∴FQ：AN=AF：AC，EP：AN=AE：AB，
又∵GB=kAB，HC=kAC，
∴AF：AC=AE：AB=k，
∴FQ：AN=EP：AN，
∴EP=FQ．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组对应角分别相等的两三角形相似；相似三角形对应边的比相等．也考查了全等三角形的判定与性质以及正方形的性质．