Question

18．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边上的高，BE⊥BC，且BE=BC，连DE，作DF⊥DE，DF与BC交于点F（F不与点B重合）．
（1）求证：比较CF与AC大小；
（2）△CDF能否成为等腰三角形？若能，求出此时∠ABC的正切值，若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）证得AC∥BE，得出∠A=∠DBE，进而证得∠CDF=∠EDB，推出△CDF∽△BDE，求得$\frac{CF}{BE}$=$\frac{CD}{BD}$，由BE=BC，得到$\frac{CF}{BC}$=$\frac{CD}{BD}$，即可求得tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{CD}{BD}$，得出$\frac{CF}{BC}$=$\frac{AC}{BC}$，即可证得CF=AC．
（2）分三种情况讨论：①当CD=CF时，由CF=AC，得出AC=CD，从而得出AC＞CD，故此种情况不存在；当CD=DF时，先证得DE=BD，然后证得△CDB∽△BGD，根据相似三角形的性质证得BC²=2CD•BD，由勾股定理求得BC²=CD²+BD²，从而求得2CD•BD=CD²+BD²，得出CD=BD，根据等腰直角三角形即可求得；③当DF=CF时，通过证得△CDF∽△BDE和△ENB≌△BDC，得出2CD=BD，即可求得tan∠ABC=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{1}{2}$．

解答 解（1）∵∠ACB=90°，BE⊥BC，
∴AC∥BE，
∴∠A=∠DBE，
∵CD是斜边上的高，
∴∠DCF+∠DBC=90°，
∵∠A+∠DBC=90°，
∴∠A=∠DCF，
∴∠DBE=∠DCF，
∵CD是斜边上的高，DF⊥DE，
∴∠CDF+∠BDF=∠EDB+∠BDF=90°，
∴∠CDF=∠EDB，
∴△CDF∽△BDE，
∴$\frac{CF}{BE}$=$\frac{CD}{BD}$，
∵BE=BC，
∴$\frac{CF}{BC}$=$\frac{CD}{BD}$，
∵tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{CD}{BD}$，
∴$\frac{CF}{BC}$=$\frac{AC}{BC}$，
∴CF=AC．
（2）能，
理由：①当CD=CF时，
∵CF=AC，
∴AC=CD，
∵AC＞CD，
故此种情况不存在；
②当CD=DF时，
∵△CDF∽△BDE，
∴$\frac{DF}{DE}$=$\frac{CD}{BD}$
∴DE=BD，
作DG⊥BE于G，如图1，
∴BG=EG=$\frac{1}{2}$BE，
∵BE⊥BC，
∴∠DBC=∠BDG，∠ACB=∠BGD，
∴△CDB∽△BGD，
∴$\frac{BG}{CD}$=$\frac{BD}{BC}$，
∴$\frac{\frac{1}{2}BC}{CD}$=$\frac{BD}{BC}$，
∴BC²=2CD•BD，
在Rt△BCD中，BC²=CD²+BD²，
∴2CD•BD=CD²+BD²，
∴CD=BD，
∴∠ABC=45°，
∴tan∠ABC=1．
③当DF=CF时，
则∠CDF=∠DCF，
∵△CDF∽△BDE，
∴∠DCF=∠DBE，
作EN⊥AB于N，如图2，
∴∠ENB=∠CDB=90°，DN=BN，
在△ENB和△BDC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ENB=∠CDB}\\{∠EBN=∠BCD}\\{BE=BC}\end{array}\right.$
∴△ENB≌△BDC（AAS），
∴EN=BD，CD=BN，
∴2CD=BD，
∴tan∠ABC=$\frac{CD}{BD}$=$\frac{1}{2}$．
综上，∠ABC的正切值为1或$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了三角形相似的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解直角三角形以及等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．