Question

【题目】如图，、、的平分线交于.

（1）是什么角？（直接写结果）

（2）如图2，过点的直线交射线于点，交射线于点，观察线段，你有何发现？并说明理由.

（3）如图2，过点的直线交射线于点，交射线于点，求证：；

（4）如图3，过点的直线交射线的反向延长线于点，交射线于点，，，，求的面积.

Answer 1

【答案】（1）直角；（2）DE=CE，理由见解析；（3）理由见解析；（4）8.

【解析】

（1）根据两直线平行同旁内角互补可得∠BAM+∠ABN＝180°，然后由角平分线的定义可证∠BAE+∠ABE＝90°，进而可得∠AEB＝90°；

（2）过点E作EF⊥AM，交AM与F，交BN于H，作EG⊥AB于G.由角平分线的性质可证EF=EH，然后根据“AAS”证明△CEF≌△DEH即可；

（3）在AB上截取AF＝AC，连接EF，可证△ACE≌△AFE，得到∠AEC＝∠AEF，进而证出∠FEB＝∠DEB，然后再证明△BFE≌△BDE，可得结论；

（4）延长AE交BD于F，由三线合一可知AB＝BF＝5，AE＝EF，根据“AAS” 证明△ACE≌△FDE，可得DF＝AC＝3，设S△BEF＝S△ABE＝5x，S△DEF＝S△ACE＝3x，根据S△ABE﹣S△ACE＝2，求出x的值，进而可求出△BDE的面积．

解：（1）∵AM//BN，

∴∠BAM+∠ABN＝180°，

∵AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，

∴∠BAE＝BAM，∠ABE＝∠ABN，

∴∠BAE+∠ABE＝(∠BAM+∠ABN)＝90°，

∴∠AEB＝90°；

（2）如图，过点E作EF⊥AM，交AM与F，交BN于H，作EG⊥AB于G.

∵AE平分∠BAM，BE平分∠ABN，

∴EF=EG=EH.

∵AM//BN，

∴∠CFE=∠EHD.

在△CEF和△DEH中，

∵∠CFE=∠DHE=90°，

∠CFE=∠EHD，

EF=EH，

∴△CEF≌△DEH，

∴DE=CE；

（3）在AB上截取AF＝AC，连接EF，

在△ACE与△AFE中，

，

∴△ACE≌△AFE，

∴∠AEC＝∠AEF，

∵∠AEB＝90°，

∴∠AEF+∠BEF＝∠AEC+∠BED＝90°，

∴∠FEB＝∠DEB，

在△BFE与△BDE中，

，

∴△BFE≌△BDE，

∴BF＝BD，

∵AB＝AF+BF，

∴AC+BD＝AB；

（4）延长AE交BD于F，

∵∠AEB＝90°，

∴BE⊥AF，

∵BE平分∠ABN，

∴AB＝BF＝5，AE＝EF，

∵AM//BN，

∴∠C＝∠EDF，

在△ACE与△FDE中，

，

∴△ACE≌△FDE，

∴DF＝AC＝3，

∵BF＝5，

∴设S△BEF＝S△ABE＝5x，S△DEF＝S△ACE＝3x，

∵S△ABE﹣S△ACE＝2，

∴5x﹣3x＝2，

∴x＝1，

∴△BDE的面积＝8．