Question

【题目】在平面直角坐标系中有一△BOD，，把 BO 绕点O 逆时针旋转 90°得OA， 连接AB，作于点 C，点B 的坐标为（1，3）.

（1）求直线AB 的解析式；

（2）若AB 中点为 M，连接 CM，动点 P、Q 同时从 C 点出发，点 P 沿射线CM 以每秒2个单位长度的速度运动，点Q沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点 D 运动，当Q点运动到D 点时，P、Q同时停止运动，设△PQO 的面积为 S（），运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；

（3）在（2）的条件下，是否存在这样的 P 点，使得P、O、B为顶点的三角形是直角三角形？若存在，求出对应的t 值和此时Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

（3）存在这样的P点.

当∠POB为90°时，t=，Q点坐标为（）

当∠PBO为90°时，t=，Q点坐标为（）

当∠BPO为90°时，t=3，Q点坐标为（0,0）或t=2，Q点坐标为（-1,0）

【解析】

（1）根据待定系数法，先求出点A的坐标，然后将A、B两点坐标代入即可.（2）根据AB中点M，求出点M的坐标,在求出CM的解析式，过点P做PH垂直CO交CO于点H，用t表示出OQ和PH的长，根据,即可求出S关于t的函数关系式.(3)根据勾股定理，此题须分三种情况分别求t的值.

解：（1）

设直线AB解析式为y=kx+b

将A、B两点坐标分别代入得：

解得：

(2)∵,

∴直线MC的解析式为

过点P做交CO于点H,

（3）∵直线MC的解析式为

∴设P点坐标为（x,x+3）,

①当∠POB为90°时

整理得：

，Q点坐标为（ ）

此时t==

②当∠PBO为90°时，

解得x=，Q点坐标为（）

此时t=

③当∠BPO为90°时

整理得：

，

Q点坐标为（0,0）或（-1,0）

此时t=3+0=3或者t=3-1=2

故存在这样的P点.

当∠POB为90°时，t=，Q点坐标为（）

当∠PBO为90°时，t=，Q点坐标为（）

当∠BPO为90°时，t=3，Q点坐标为（0,0）或t=2，Q点坐标为（-1,0）