Question

20．直角梯形有内切圆O（设其半径为R），AC与BD的交点为M，证明：S_△BCM=R²．

Answer 1

分析 如图，设AB、BC、CD与⊙O相切于点E、H、F．作BG⊥CD于G，连接EM、MF．只要证明E、M、F共线，根据S_△AMD=$\frac{1}{2}$S_矩形AEFD=R²，再证明S_△BCD=S_△ACD即可解决问题．

解答 解：如图，设AB、BC、CD与⊙O相切于点E、H、F．作BG⊥CD于G，连接EM、MF．

设BH=BE=x，CH=CF=y，
∵四边形ABCD是直角梯形，则四边形AEFD是矩形，
∴∠ADC=∠DAB=90°，AE=DF=R，AD=2R，
在Rt△BCG中，∵BC²=CG²+BG²，
∴（x+y）²=（y-x）²+4R²，
∴R²=xy，即$\frac{R}{y}$=$\frac{x}{R}$=$\frac{R+x}{R+y}$，
∴$\frac{AE}{CF}$=$\frac{AB}{CD}$，
∵AB∥CD，
∴$\frac{AB}{CD}$=$\frac{AM}{MC}$，
∴$\frac{AE}{CF}$=$\frac{AM}{CM}$，∵∠EAM=∠FCM，
∴△AEM∽△CFM，
∴∠AEM=∠MFC，
∴E、M、F共线，
∴S_△AMD=$\frac{1}{2}$S_矩形AEFD=R²，
∵S_△BCD=S_△ACD，
∴S_△BCM=S_△AMD=R²．

点评 本题考查直角梯形的内切圆、切线长定理、勾股定理、平行线的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，证明E、M、F三点共线是解题突破口，属于中考压轴题．