Question

如图，D是等边△ABC的边AB上一点，E是BC延长线上一点，CE=DA，连接DE交AC于F，过D点作DG⊥AC于G点．证明下列结论：
（1）AG=AD；
（2）DF=EF；
（3）S_△DGF=S_△ADG+S_△ECF．

Answer 1

证明：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，
∵DG⊥AC，
∴∠AGD=90°，∠ADG=30°，
∴AG=AD；

（2）过点D作DH∥BC交AC于点H，
∴∠ADH=∠B，∠AHD=∠ACB，∠FDH=∠E，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠ACB=∠A=60°，
∴∠A=∠ADH=∠AHD=60°，
∴△ADH是等边三角形，
∴DH=AD，
∵AD=CE，
∴DH=CE，
在△DHF和△ECF中，
，
∴△DHF≌△ECF（AAS），
∴DF=EF；

（3）∵△ABC是等边三角形，DG⊥AC，
∴AG=GH，
∴S_△ADG=S_△HDG，
∵△DHF≌△ECF，
∴S_△DHF=S_△ECF，
∴S_△DGF=S_△DGH+S_△DHF=S_△ADG+S_△ECF．
分析：（1）由等边△ABC，DG⊥AC，可求得∠AGD=90°，∠ADG=30°，然后根据直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得AG=AD；
（2）首先过点D作DH∥BC交AC于点H，易证得△ADH是等边三角形，又由CE=DA，可利用AAS证得△DHF≌△ECF，继而可得DF=EF；
（3）由△ABC是等边三角形，DG⊥AC，可得AG=GH，即可得S_△ADG=S_△HDG，又由△DHF≌△ECF，即可证得S_△DGF=S_△ADG+S_△ECF．
点评：此题考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及含30°直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．