Question

如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=4cm，OC=3cm，D为OA上一动点，点D以1cm/s的速度从O点出发向A点运动，E为AB上一动点，点E以1cm/s的速度从A点出发向点B运动．
（1）试写出多边形ODEBC的面积S（cm²）与运动时间t（s）之间的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，当多边形ODEBC的面积最小时，在坐标轴上是否存在点P，使得△PDE为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在某一时刻将△BED沿着BD翻折，使得点E恰好落在BC边的点F处．求出此时时间t的值．若此时在x轴上存在一点M，在y轴上存在一点N，使得四边形MNFE的周长最小，试求出此时点M，点N的坐标．

Answer 1

解：（1）设OD=t，AD=4-t，AE=t，
S_△ODEBC=S_△ABCD-S_△DAE
=
=
=（0≤t≤3）

（2）∵
∴
∴当t=2时，S有最小值；
此时：D（2，0）、E（4，2），
①当P在x轴上时，设P（a，0），
此时：DE²=AD²+EA²=2²+2²=8，
EP²=（a-4）²+2²=a²-8a+20，
DP²=（a-2）²=a²-4a+4，
∴当DE²=EP²时，8=a²-8a+20，
∴a²-8a+12=0，
（a-2）（a-6）=0，
∴P（2，0），P₁（6，0），
∵P（2，0）与D重合
∴舍去，
当EP²=DP²时，a²-8a+20=a²-4a+4，
16=4a，
a=4，
∴P₂（4，0），
当DE²=DP²时，8=a²-4a+4a²-4a-4=0
，
∴，
②当P在y轴上时，设P（0，b），
则DP²=2²+b²=b²+4EP²=4²+（b-2）²=16+b²-4b+4=b²-4b+20
DE²=8，
∴当DP²=EP²时，b²+4=b²-4b+20
4b=16，
b=4，
∴P₅（0，4），
当EP²=DE²时，b²-4b+20=8b²-4b+12=0b²-4ac＜0，
∴无解．
当DP²=DE²时，b²+4=8，
b²=4，
∴b=±2，
∴P₆（0，-2）（DEP三点共线，舍去），
∴综上共有6个这样的P点，
使得△PDE为等腰三角形．
即P₁（6，0），P₂（4，0），，，P₅（0，4），P₆（0，2）．

（3）设AE=t，则BE=3-t．BF=BE=3-t，AD=4-t，
∴CF=4-BF=t+1，
过D作DP⊥BC于P．
则：CP=OD=t，
∴PF=1，
又DP=3，
∴，
∴，
∴在Rt△DAE中，AD²+AE²=DE²，
∴（4-t）²+t²=10，
∴t²-8t+16+t²=10，
2t²-8t+6=0，
t²-4t+3=0，
∴t₁=1，t₂=3（舍），
∴t=1，
∴E（4，1），F（2，3），
∵E关于x轴的对称点E′（4，-1），F关于y轴的对称点F′（-2，3），
则E′F′与x轴，y轴的交点即为M点，N点．
设直线E′F′的解析式为y=kx+b（k≠0），
则，
∴，
∴y=-x+．
∴M（，0），N（0，）．
分析：（1）设OD=t，AD=4-t，AE=t，由S_△DEBC=S_△ABCD-S_△DAE，列出关于t的函数，
（2）由（1）的一元二次方程求出最小值，分类P在x轴上时、在y轴上时求出满足条件的点，
（3）设AE=t，则BE=3-t．BF=BE=3-tAD=4-t，求出CF，然后求出t，解得M、N的坐标．
点评：考查二次函数求最大（小）值的方法，综合面积的计算、勾股定理等内容，渗透分类讨论思想，综合性很强．