Question

4．如图，已知正方形ABCD，M是BC边上一点，连DM，作MN⊥DM交∠CBE的平分线于N．
（1）求证：MN=MD；
（2）连DN交BC于F，求证：MN平分∠FME；
（3）已知正方形ABCD的边长为4，若AM=3，求BN=3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 （1）可通过构建全等三角形来求解．在OD上取OH=OM，通过证三角形DHM和MBN全等来得出DM=MN．
（2）本题也是通过构建全等三角形来求解的．在BO延长线上取OA=CF，通过三角形OAD，FDC和三角形DAM，DMF这两对全等三角形来得出FM和OM，CF的关系，从而得出FM是否是定值．然后再看∠FMN是否与∠NME相等；
（3）作NQ⊥AE交AE于点Q，证得△DAM≌△MQN，得出NE=AM=3，利用勾股定理得出BN即可．

解答 证明：（1）如图，

在AD上取AH=AM，连接HM，
∵AD=AB，AH=AM，
∴HD=MB，∠AHM=∠AMH，
∴∠DHM=180-45=135°，
∵NB平分∠CBE，
∴∠NBE=45°，
∴∠NBM=180-45=135°，
∴∠DHM=∠NBM，
∵∠DMN=90°，
∴∠DMA+∠NMB=90°，
∵∠HDM+∠DMA=90°，
∴∠HDM=∠NMB，
在△DHM和△MBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠HDM=∠NMB}\\{DH=MB}\\{∠DHM=∠NBM}\end{array}\right.$，
∴△DHM≌△MBN（ASA），
∴DM=MN．

（2）如图，

在BA延长线上取GA=CF，可证△DAG≌△DCF，△DMG≌△DMF，
FM=MG=AM+CF（不为定值），∠DFM=∠DGM=∠DFC，
过M作MP⊥DN于P，则∠FMP=∠CDF，
由（2）可知∠NMF+∠FMP=∠PMN=45°，
∠NMB=∠MDH，∠MDA+∠CDF=45°，
进一步得∠NMB=∠NMF，即MN平分∠FME．

（3）如图，

作NQ⊥AE交AE于点Q，
∵在△DAM和△MQN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠MQN}\\{∠ADM=∠NMQ}\\{MD=MN}\end{array}\right.$
∴△DAM≌△MQN，
∴NE=AM=3，AD=ME=4，
∴BE=3，
∵∠NBE=45°，
∴BN=3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查四边形综合题，主要利用正方形的性质，全等三角形的判定等知识点，根据全等三角形得出角或边相等是解题的关键．