Question

【题目】已知：抛物线 经过坐标原点，且当 时, y随x的增大而减小.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如下图，设点A是该抛物线上位于x轴下方的一个动点，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点D，再作AB x轴于点B, DC x轴于点C.

①当 BC=1时，直接写出矩形ABCD的周长；
②设动点A的坐标为（a, b）,将矩形ABCD的周长L表示为a的函数，并写出自变量的取值范围，判断周长是否存在最大值，如果存在，求出这个最大值，并求出此时点A的坐标；如果不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】
（1）解：把（0，0）代入y=x2+（2m﹣1）x+m2﹣1，∴0=m2﹣1，∴m=±1，∵当x＜0时，y随x的增大而减小，∴对称轴x= ＞0，∴m＜ ，∴m=﹣1，∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x
（2）解：①∵AD∥x轴，∴A与D关于抛物线的对称轴对称，∵抛物线的对称轴为x= ，BC=1

∴点B的横坐标为1，∴把x=1代入y=x2﹣3x，∴y=﹣2，∴AB=2，∴矩形ABCD的周长为：2×2+2×1=6；

②把A（a，b）代入y=x2﹣3x，∴b=a2﹣3a，∴A（a，a2﹣3a），令y=0代入y=x2﹣3x，∴x=0或x=3，∴由题意知：0＜a＜3，∴AB=3a﹣a2，由①可知：A与D关于x= 对称，∴D的坐标为（3﹣a，a2﹣3a），∴AD=|3﹣a﹣a|=|3﹣2a|，分两种情况讨论：

当0＜a≤ 时，∴AD=3﹣2a，∴L=2（AB+AD）=﹣2a2+2a+6=﹣2（a﹣ ）2+ ，当a= 时，L的最大值为 ，此时A的坐标为（ ，﹣ ）；

当 ＜a＜3时，∴AD=2a﹣3，∴L=2（AB+AD）= =﹣2（a﹣ ）2+ ，当a= 时，L的最大值为 ，此时A的坐标为（ ，﹣ ）．

综上所述：L= ，当A的坐标为（ ，﹣ ）或（ ，﹣ ），L的最大值为 ．

【解析】（1）把原点坐标（0，0）代入抛物线解析式，由“x < 0 时, y随x的增大而减小.”可判断出开口向上，a取正值；（2）由抛物线的对称性可知B、C是对称点，结合对称轴求出B横坐标，代入解析式，进而求出AB，最后求出周长;(2)需分类讨论，分A在对称轴的左侧或右侧，构建关于周长的函数，分别求出两种情况下的最大值，求出相应的A的坐标.