Question

（2013•南京二模）如图，点A₁、A₂、A₃、A₄、A₅在⊙O上，且

A1A2

=

A2A3

=

A3A4

=

A4A5

=

A5A1

，B、C分别是A₁A₂、A₂A₃上两点，A₁B=A₂C，A₅B与A₁C相交于点D，则∠A₅DC的度数为

108°

．

Answer 1

分析：首先证明△A₁A₅B≌△A₂A₁C，然后依据全等三角形的对应角相等以及三角形的外角的性质，即可证得∠A₅DC=∠A₅A₁A₂从而求解．

解答：解：∵

A1A2

=

A2A3

=

A3A4

=

A4A5

=

A5A1

，
∴每段弧的度数是：

360

5

=72°，
则

A5A1A2

的度数是：3×72=216°，
∴∠A₅A₁A₂=108°．
∵在△A₁A₅B和△A₂A₁C中，

A1A5=A1A2 ∠A5A1B=∠A1A2C A1B=A2C

，
∴△A₁A₅B≌△A₂A₁C（SAS），
∴∠A₁A₅B=∠A₂A₁C，
∴∠A₅DC=∠A₁A₅D+∠A₅A₁D=∠A₅A₁D+∠A₂A₁C=∠A₅A₁A₂=108°．
故答案是：108°．

点评：本题考查了弧、弦、圆心角的关系，以及全等三角形的判定与性质，正确证明∠A₅DC=∠A₅A₁A₂是关键．