Question

如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC=90°，∠DCE=30°，AB=4，BE=2DE．求CD的长．

Answer 1

分析：利用等腰直角三角形的性质得出EH=DH=1，进而得出再利用直角三角形中30°所对边等于斜边的一半得出CD的长．

解答：解：
过D作DH⊥AC于H，
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE=∠DHE，
∵∠AEB=∠DEH，
∴△ABE∽△HDE，
∴

AB

DH

=

BE

DE

，
∵BE=2DE，
∴DH=

1

2

AB=

1

2

×4=2，
∵∠DHC=90°，∠DCA=30°，
∴DC=2DH=4．

点评：本题考查了相似三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质的应用，关键是求出DH长和得出DC=2DH．