Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠A=30°．
（1）若∠ABD=120°，CD⊥BD，求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AC=2

3

，求劣弧

AC

的长．

Answer 1

考点：切线的判定,弧长的计算

专题：

分析：（1）连接OC，BC，由AB为圆O的直径，得到∠ACB为直角，又∠BAC=30°，得到∠ABC=60°，再由OC=OB，利用等边对等角得到∠OBC=∠OCB，得到∠OCB的度数为60°，又∠ABD=120°，利用∠ABD-∠ABC求出∠CBD的度数，在直角三角形BCD中，求出∠BCD的度数为30°，可得出∠OCD为直角，即CD与OC垂直，即可得出CD为圆O的切线，得证；
（2）通过解直角△ABC可以求得斜边AB的长度，利用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”求得圆的半径OA，则利用弧长公式进行解答即可．

解答：解：（1）证明：连接BC，如图所示．
∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，又∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=60°，
∵∠ABD=120°，
∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=60°，
∵BD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴∠BCD=30°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，
∴CD⊥OC，
则CD为圆O的切线；

（2）∵AB是直径，
∴∠ACB=90°．
又∵∠A=30°，AC=2

3

，
∴AB=

AC

cos30°

=

2 3

3 2

=4，
又点O是AB的中点，
∴OA=

1

2

AB=2．
∵∠AOC=180°-2∠A=120°，
∴劣弧

AC

的长为：

120π×2

180

=

4

3

π．

点评：此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数定义，切线的证明方法有两种：有点连接，证明垂直；无点作垂线，证明垂线段等于圆的半径．