Question

如图，⊙M与x轴相切于原点，平行于y轴的直线交圆于P、Q两点，P点在Q点的下方．若P点的坐标是（2，1），求圆心M的坐标．

Answer 1

分析：过M作MN垂直于PQ，交PQ于N，根据垂径定理得到N为PQ中点，连接PM，由点P分别作x轴与y轴的垂线，交x轴于点A，与y轴交于点B，根据P的坐标得到PA和PB的长度，设圆心M的坐标为（0，m），则圆的半径MO=m，根据NA-PA表示出NP，而MN与PB相等，故在直角三角形MNP中，利用勾股定理列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值，从而确定出圆心M的坐标．

解答：解：过M作MN⊥PQ，交PQ于N，连接PM，
∴N为PQ的中点，
又P的坐标为（2，1），过P作PA⊥x轴，PB⊥y轴，
所以MN=PB=2，PA=1，
设圆心M的坐标为（0，m），由圆M与x轴相切于原点，
则圆的半径MP=m（m＞0），NP=NA-PA=OM-PA=m-1，
在直角三角形MNP中，根据勾股定理得：
m²=（m-1）²+2²，即2m=5，解得m=

5

2

，
则圆心M的坐标为（0，

5

2

）．

点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．在解决圆有关问题时，遇到圆中的弦，常常过圆心作这条弦的垂线，利用垂径定理得中点，由垂直构造以圆心、垂足及弦的一个端点为顶点的直角三角形解决有关问题．