Question

3．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=BC，以AB为底边作等腰Rt△ABE，连接ED，EC，延长CE交AD于点F，下列结论：①△ADE≌△BCE；②BD+DF=AD；③CE⊥DE；④S_△BDE=S_△ACE，其中正确的有①②③④（填写正确的番号）

Answer 1

分析 ①易证∠CBE=∠DAE，即可求证：△ADE≌△BCE
②根据①结论可得∠AEC=∠DEB，即可求得∠AED=∠BEG，即可解题；
③证明△AEF≌△BED即可；
④易证△FDC是等腰直角三角形，则CE=EF，S_△AEF=S_△ACE，由△AEF≌△BED，可知S_△BDE=S_△ACE，所以S_△BDE=S_△ACE．

解答 解：∵AD为△ABC的高线，
∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，
∵Rt△ABE是等腰直角三角形，
∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE，
∴∠CBE+∠BAD=45°，
∴∠DAE=∠CBE，
在△DAE和△CBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BE}\\{∠DAE=∠CBE}\\{AD=BC}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BCE（SAS）；故①正确；
∵△ADE≌△BCE，
∴∠EDA=∠ECB，AD=BC，DE=EC，
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠ECB=90°，
∴∠DEC=90°，
∴CE⊥DE，△DEC是等腰直角三角形，易证△DFC是等腰直角三角形，故③正确，
∴DF=DC，
∵BC=BD+DC=BD+DF=AD，故②正确；
∵AD=BC，BD=AF，
∴CD=DF，
∵AD⊥BC，
∴△FDC是等腰直角三角形，
∵DE⊥CE，
∴EF=CE，
∴S_△AEF=S_△ACE，
∵△AEF≌△BED，
∴S_△AEF=S_△BED，
∴S_△BDE=S_△ACE．故④正确；
故答案为①②③④．

点评 本题考查了全等三角形的判定/等腰直角三角形的性质等知识，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△BFE≌△CDE是解题的关键．