Question

如图，矩形纸片ABCD，点E是AB上一点，且BE：EA=5：3，EC=15

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，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，设这个点为F，若⊙O内切于以F、E、B、C为顶点的四边形，则⊙O的面积=

 

．

Answer 1

分析：连接OB，把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，则BE=EF，BC=CF；再由BE：EA=5：3可以设BE=5x，EA=3x，则FA=4x，CD=8x，又CF=AD，CF²=CD²+DF²，可得CF=10x，DF=6x，则BC=10x；在Rt△EBC中，由勾股定理可求得x的值，再由面积S_△EBC=S_△OEB+S_△OBC求得⊙O半径，求出面积．

解答：解：连接OB，
由于把△BCE沿折痕EC向上翻折，若点B恰好落在AD边上，
则BE=EF，BC=CF；
由BE：EA=5：3，设BE=5x，EA=3x，
则FA=4x，CD=8x，又CF=AD，∴CF²=CD²+DF²，即CF²=（8x）²+（CF-4x）²，可得CF=10x，DF=6x，则BC=10x；
在Rt△EBC中，EB²+BC²=EC²，即（5x）²+（10x）²=（15

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）²，
解得：x=3，则BE=15，BC=30．
再由S_△EBC=S_△OEB+S_△OBC，则

1

2

×BE×BC=

1

2

×BE×r+

1

2

×BC×r，
解得：r=10；
则⊙O的面积为πr²=100π．

点评：本题考查了切线的性质及勾股定理的应用，难度稍大，解题时要理清思路．